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Punto medio y una contradiccion

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Punto medio y una contradiccion

Notapor Niklaash » 03 Nov 2014, 13:51

Sea [math] un triangulo acutangulo no degenerado, cuyo incentro es [math]. Sea [math] una recta que pasa por [math] paralela a [math] y sea [math] el punto donde la bisectriz exterior de [math] intersecta a [math]

a) Si [math]. Pruebe que [math] es el punto medio de [math].
b) Sea [math] la circunferencia circunscrita del [math]. Pruebe que [math] no pertenece a [math]
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Re: Punto medio y una contradiccion

Notapor ricarlos » 30 Dic 2014, 20:39

a) Definimos <IBA=<ICA=a y <ICA=ICB=c.
Es conocido que <ICM=90, asi que <RCM=(90-c)
Por alternos internos <RIC=c, y por triangulo rectangulo MIC es <RMC=(90-c)
Entonces MCR es isosceles en R, esta construccion en un triangulo rectangulo nos indica que R es punto medio de IM.

b) la circunscrita al ICM vuelve a cortar a AC en P, luego por angulos inscritos <IPC=<IMC=(90-c)
Supongamos que P=A entonces tendriamos que (90-c)=a ----> 90=(a+c) esto no puede ser cierto pues en los vertices A y C del ABC tenemos 2a y 2c que juntos tendrian que sumar 180, imposible si hablamos de un triangulo.
ricarlos
 
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