Construcción con Regla y Compás

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sebIN
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Construcción con Regla y Compás

Mensajepor sebIN » 11 Abr 2013, 14:53

Demuestre que si tenemos un segmento de medida 1, siempre se puede construir un segmento de medida [math] con [math]

EME
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Re: Construcción con Regla y Compás

Mensajepor EME » 24 Abr 2013, 20:38

Respuesta: Sea [math] el segmento de lado 1. Construyamos el segmento de lado [math] (con [math] perteneciente a los Naturales), a continuación del segmento [math] , de modo que ambos segmentos descansen sobre la misma recta y sea [math] el punto de separación entre ambos segmentos. Sea [math] el extremo del segmento de lado [math].
Tracemos la circunferencia de diámetro [math]. Tracemos además la perpendicular a [math] que pasa por [math]. Esta perpendicular
corta a la circunferencia en dos puntos, tomemos uno de ellos y llamémoslo [math]. Como [math] es un triángulo inscrito en una
semicircunferencia, [math] es recto en [math].
Por el teorema de Euclides relativo a la altura:
[math] = [math] x [math]
[math] [math] = [math]
[math] [math] = [math]
Por lo tanto, hemos construido un segmento de lado [math] (con [math] perteneciente a los Naturales), demostrando lo propuesto por el enunciado.

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Buster
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Re: Construcción con Regla y Compás

Mensajepor Buster » 28 Abr 2013, 00:29

Correcto.

También hay una solución por inducción :ninja:
"Look behind you, a three-headed monkey"
Guybrush Treepwood

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EME
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Re: Construcción con Regla y Compás

Mensajepor EME » 29 Abr 2013, 18:34

Veamos:
Vamos a demostrar que si inicialmente teníamos un segmento de tamaño 1, siempre es posible construir un segmento de tamaño [math] con [math].
Procedamos por inducción:
Caso Base:
Para [math] es lógico que se puede construir un segmento de longitud [math], pues éste es simplemente [math].
Hipótesis inductiva:
Supongamos que es posible construir un segmento de longitud [math] para algún [math].
Paso inductivo:
Entonces, construyamos un triángulo rectángulo de catetos [math] y [math]. Por el teorema de Pitágoras, su hipotenusa será de longitud[math]. Por lo tanto, es posible construir un segmento de longitud [math]
Concluimos entonces que [math] es posible construir un segmento de longitud [math].


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