OMCS 2010

Olimpiadas de Matemáticas del Conosur
Jumbito
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OMCS 2010

Mensajepor Jumbito » 20 Jun 2010, 14:19

En el siguiente link estan las pruebas en español http://www.opm.mat.br/conesul2010/provas.php, se pueden postear las soluciones aqui mismo.
Felipe Arbulú

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Re: OMCS 2010

Mensajepor iMPuRe » 20 Jun 2010, 23:10

P1 Sean las fracciones [math] y [math] definidas en el enunciado, luego [math] y [math]. Como [math] y [math] asi qe [math]. Ahora tenemos [math]. El problema ahora se reduce a encontrar todos los [math] con [math] tales que [math] y [math], notemos que la primera condicion engloba la segunda ya que [math]. Notar que [math], asi que los valores de [math] son tantos como numeros no divisibles por [math] y [math] entre [math] y [math], que es lo mismo considerar entre [math] y [math], pues [math] es divisible por ellos. Asi por inclusion-exclusion tenemos que los valores de [math] son [math], por la simetria de las fracciones (denominador) nos quedamos con la mitad de los valores. Es decir hay [math] formas de generar las fracciones pedidas.
http://mateolimpiadasin.blogspot.com/

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Re: OMCS 2010

Mensajepor iMPuRe » 22 Jun 2010, 09:41

P4 Demostraremos que en cada uno de los [math] cuadriculados de [math] se puede hacer lo pedido, asi que en cada uno se procedera de la misma manera y tendremos lo pedido. Guiarse por figura, sean [math] el número de veces que colocamos la pieza L y queda [math] descubiertos respectivamente, luego tenemos que [math], [math], [math], [math], sumando todas las congruencias tenemos [math] y como [math] y [math] son coprimos podemos dividir por [math] y tenemos [math]. Con esto ultimo y las [math] congruencias que plantiamos al principio podemos despejar [math] y tenemos lo pedido.

[math]
Última edición por iMPuRe el 28 Jun 2010, 11:30, editado 1 vez en total.
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Solución Problema 4

Mensajepor S. E. Puelma Moya » 27 Jun 2010, 00:10

Una solución "constructiva" para el problema 4 de esta Olimpiada Matemática del Cono Sur.

El problema puede ser trabajado "módulo 10", es decir, en vez de números enteros serán considerados elementos de [math] (números enteros módulo 10). Como en la solución de iMPuRe, es posible dividir el tablero 2010x2010 en [math] tableros 2x2 disjuntos, basta con aplicar lo siguiente en cada uno de ellos:

Dado un par de tableros 2x2, es posible obtener uno de ellos a partir del otro con un número finito de operaciones

Demostración: Supongamos que el primer tablero tiene un 0 en cada casilla. Vamos a poner nombre a cada casilla:

[math]

Sea [math] la operación que suma 1 en cada casilla del tablero, excepto en la casilla A. Defina [math] análogamente. Aplicando una vez cada operación, el tablero tendrá un 3 en cada casilla. Esto se repite otras tres veces para que cada casilla tenga un 9 en cada casilla. Aplicando una vez la operación [math], habrá un 9 en la casilla A y un 0 en las otras tres casillas. Por lo tanto es posible obtener el tablero:

[math]

Aplicando el párrafo anterior nueve veces, se obtiene el tablero arriba, cambiando 9 por 1. Un razonamiento similar sobre las otras casillas permite obtener los siguientes tableros:

[math] [math] [math] [math]

Ahora, estos "tableros básicos" pueden ser utilizados varias veces para pasar de cualquier tablero inicial a cualquier tablero final. Por ejemplo, para pasar de

[math] a [math]

basta usar dos veces el primero, siete veces el segundo, cuatro veces el tercero y siete veces el cuarto
Sebastián Elías Puelma Moya

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Re: OMCS 2010

Mensajepor Black Joker ! » 28 Jun 2010, 01:01

iMPuRe escribió:P2 Demostraremos que en cada uno de los [math] cuadriculados de [math] se puede hacer lo pedido, asi que en cada uno se procedera de la misma manera y tendremos lo pedido. Guiarse por figura, sean [math] el número de veces que colocamos la pieza L y queda [math] descubiertos respectivamente, luego tenemos que [math], [math], [math], [math], sumando todas las congruencias tenemos [math] y como [math] y [math] son coprimos podemos dividir por [math] y tenemos [math]. Con esto ultimo y las [math] congruencias que plantiamos al principio podemos despejar [math] y tenemos lo pedido.

[math]


Hola soy Ricardo Vargas (~Fatal_Collapse~ en fmat) y como el impure me invitó, decidí meterme en este foro que está bacán =)

Esa es la misma solución que posteé en fmat. A mi gusto, más natural que la de xD13G0x (del tablero de 4x2)

PD: Tobal, edita, ya que éste era el p4.
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