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Prueba de clasificación Nivel Mayor (2013)

Olimpiada Nacional de Matemáticas

Prueba de clasificación Nivel Mayor (2013)

Notapor elnumerodeoro » 27 Ago 2013, 00:32

25ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS

Prueba de clasificación, Nivel Mayor.



Primera prueba

Problema 1.
Dentro de un triángulo equilátero de lado [math] se marcan [math] puntos. Demuestre que hay dos de estos puntos a una distancia menor o igual que [math].

Problema 2.
Un cierto país tiene [math] ciudades y [math] vuelos directos entre algunos pares de ciudades. Suponga que no hay dos ciudades con más de un vuelo directo entre ellas y que los vuelos directos se pueden hacer en cualquiera de los dos sentidos. Demuestre que se puede llegar desde cualquier ciudad a cualquier otra del país a través de alguna combinación de vuelos.

Problema 3.
Considere un tablero cuadriculado de [math] x [math] casillas. ¿Cuántas casillas atraviesa una línea diagonal del tablero?
Aclaración: Decimos que una línea atraviesa una casilla cuando pasa por el interior de ésta.


Segunda prueba

Problema 4.
Sobre un pizarrón están escritos los números
[math]

Se quieren colocar los símbolos [math] ó [math] delante de cada número y considerar el resultado de la suma correspondiente.

[math] 1. ¿Es posible colocar los símbolos de manera que la suma resultante sea [math]?
[math] 2. Muestre que existe algún resultado que se puede obtener colocando los símbolos [math] ó [math] en al menos 16000 maneras distintas.

Problema 5.
Sobre las casillas de un tablero de [math] x [math] se escriben de manera desordenada los números del [math] al [math]. Demuestre que existe una fila de manera tal que el producto de sus casillas es divisible por [math].

Problema 6.
Para promocionar los [math] años de la Olimpíada Nacional de Matemática, la comisión olímpica confeccionó posters y cartas postales de menor tamaño, utilizando exactamente la misma imagen. Sobré el escritorio del profesor Cortés hay un poster estirado y sobre éste, sin sobresalir, hay una carta postal. El profesor Cortés nota un fenómeno muy particular: hay un punto de ambas imágenes que está situado exactamente en la misma posición sobre el escritorio. Demuestre que tal fenómeno siempre se tiene. Determine si es posible que haya más de un punto con tal propiedad.
elnumerodeoro
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Re: Prueba de clasificación Nivel Mayor (2013)

Notapor sebIN » 27 Ago 2013, 01:02

Problema 4:

Parte a.
Razonemos por contradicción, supongamos que existe alguna combinación de signos tal que diera 0. Notemos que al cambiar un signo de cualquier combinación de signos, la paridad se mantiene. Luego si consideramos la suma 1+2+...+22=22*23/2=11*23=IMPAR, luego como la suma es IMPAR y al cambiar cualquier signo seguirá siendo IMPAR. Entonces si se pudiera que en alguna combinación se diera 0, entonces seria PAR, contradicción. Por ende no puede dar 0.


Parte b.
Sea A el conjunto de posibles resultados de todas las combinaciones de signos, notemos que tiene a lo más 254 elementos. Ahora como tenemos 2^22 combinaciones de resultados posibles, por el Principio del Palomar basta demostrar que 254*16000<2^22, esto es 4064000<4194304, lo cual es verdad, demostrando lo pedido [math]


Saludos :)!!!
sebIN
 
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Re: Prueba de clasificación Nivel Mayor (2013)

Notapor Scdx » 27 Ago 2013, 01:03

El problema que más me gustó fue el 2, así que ahí va.

Problema 2.

Consideremos [math] ciudades de las [math] que hay en total. Supongamos que existe un vuelo directo de cualquiera de estas ciudades a todas las demás, o sea, hay [math] vuelos en total, de modo que se puede ir de cualquier ciudad a otra. Ahora, si agregamos una ciudad, será necesario un vuelo directo más, o sea, [math]. De este modo, siempre habrá al menos un vuelo que conecte una ciudad con las demás.
Scdx
 
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Re: Prueba de clasificación Nivel Mayor (2013)

Notapor heiricar » 30 Ago 2013, 22:27

Scdx escribió:El problema que más me gustó fue el 2, así que ahí va.

Problema 2.

Consideremos [math] ciudades de las [math] que hay en total. Supongamos que existe un vuelo directo de cualquiera de estas ciudades a todas las demás, o sea, hay [math] vuelos en total, de modo que se puede ir de cualquier ciudad a otra. Ahora, si agregamos una ciudad, será necesario un vuelo directo más, o sea, [math]. De este modo, siempre habrá al menos un vuelo que conecte una ciudad con las demás.


La idea es buena pero lo que lograste concluir es que dado un conjunto de n ciudades no hay una que este sin conectar con todas las demás, pero lo que piden es aun más fuerte, si te paras en una ciudad puedes ir a cualquier otra con una combinación de vuelos (nota que esta implica a la otra pero no al reves).
Así que pule un poco más tu idea para que tengamos una solución correcta al problema (un procedimiento inductivo te puede ayudar :ninja: )
Saludos
heiricar
 
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