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Primera Fecha 2008 - Nivel Mayor

Publicado: 30 Ago 2008, 22:46
por Chaparrón
Primero Torneo de Matemáticas
El Número de Oro 2008


Nivel Mayor
30 de Agosto 2008

Problema 1
Tenemos tres máquinas transformadores de números. Nosotros ingresamos el par [math], y la máquina devuelve [math]. Esta transformación la denotamos por [math].

A) La primera puede realizar dos transformaciones, [math] o bien [math]. Si el primer par ingresado es [math], ¿Es posible tras una serie de transformaciones obtener el par [math]?
B) La segunda realiza [math]. Si el primer par ingresado es [math],¿Es posible tras una serie de transformaciones obtener el par [math]?
C) La tercera puede realizar dos transformaciones, [math] o bien [math]. Si el primer par ingresado es [math],¿Es posible tras una serie de transformaciones llegar al par [math]?

Problema 2
Se define por recurrencia la susesión [math],[math]de forma que:
[math]
[math]
[math]
Encuentre todos los valores de [math]para los cuales [math]

Problema 3
Los amigos de Luis quisieron jugarle una broma, y en su tarea de geometría borraron la mayor parte de un triángulo, dejando dos ángulos y dibujándole un trazo equivalente a la suma de los 3 lados del triángulo. Ayude a Luis a poder entregar su tarea explicando como se puede dibujar nuevamente el triángulo, a partir de las medidas dejadas, utilizando solo regla y compás. Para colmo la regla de Luis no tiene medidas, aunque es más larga que la suma de los 3 lados.

Publicado: 30 Ago 2008, 23:10
por Jumbito
P1

a) Cualquiera sea la transformacion, lo que se hace es sumar y restarles impares a los numeros [math] de [math], osea, cambiarles la paridad. Como tenemos una pareja de la forma [math] entonces no es posible llegar a uno de la forma [math], como lo es [math].
b) Notemos que [math] es divisible por 5, luego, [math] tambien, asi que [math] siempre sera divisible por 5 (partimos del 60). Como [math] no es divisible por 5, no es posible llegar a la pareja mencionada.
c) "Sumaremos" los numeros que meteremos a la maquina. Para ver un caso general, tomemos el par [math], la suma es x+y. Si aplicamos la primera transformacion nos arroja el numero [math] de suma [math]. Si aplicamos la segunda transformacion, la suma es [math], de esta manera la suma de los numeros separados por la coma (,) es constante. Inicialmente esta suma es 145+220=365, por ende no es posible llegar al par [math] (porque su suma es 861).

Publicado: 30 Ago 2008, 23:32
por Jumbito
P2

Respuesta: ninguno.
Nosotros sabemos que todo [math] entero positivo cumple con que [math]. Calcularemos unos pocos terminos primero:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
...
Asi veamos que los terminos que siguen tambien dejan resto 5 modulo 8 (esto por la recurrencia, el termino que sigue tendra resto [math] modulo 8 ). Pero teniamos que para todo n, [math], entonces desde [math] no hay cuadrados perfectos en la sucesion. Basta ver por debajo de [math] para concluir.

Re: Primera Fecha 2008 - Nivel Mayor

Publicado: 04 Jun 2010, 18:29
por iMPuRe
Ambas soluciones perfectas, porfavor los admins arreglar el latex :P

Re: Primera Fecha 2008 - Nivel Mayor

Publicado: 04 Jun 2010, 18:44
por iMPuRe
Como acotación, notemos que [math] tiene como polinomio caracteristico a [math] que tiene raices [math] y [math]. Considerando [math] y [math], entonces [math] y [math], portanto [math] y es claro por inducción que [math].