Página 1 de 1

Segunda Fecha 2008 - Nivel Mayor

Publicado: 08 Oct 2008, 20:50
por Buster
Problema 1.- Demostrar que las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares entre sí, si y solo sí la suma de los cuadrados de un par de lados opuestos es igual a la del otro par.

Problema 2.- Se tiene el polinomio a coeficientes reales

[math]

en donde se sabe que sus coeficientes satisfacen que

[math] , [math]

Si [math] y [math], calcule [math].

Problema 3.- Si un cuadrado es dibujado externamente sobre cada lado de un paralelógramo. Pruebe que:


(a) El cuadrilátero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.

(b) Las diagonales del nuevo cuadrado formado son concurrentes con las diagonales del paralelógramo original.

Re: Segunda Fecha 2008 - Nivel Mayor

Publicado: 06 Feb 2012, 17:47
por ElGik
Imagen

(a) Es fácil notar que los cuadrados construidos en los lados opuestos del paralelógramo son congruéntes, por lo tanto, la distancia a sus centros (que es la mitad de la diagonal) es la misma también, de lo que se desprende que [math], de la misma forma [math]. Ahora bien, como ABCD es paralelógramo, sabemos que [math], de esto, al notar los ángulos completos en A, B, C y D, podemos decir que [math], luego por LAL, los triángulos [math] son congruentes, por lo que [math]. Luego, basta notar la congruencia de los ángulos para ver que los ángulos del cuadrilátero [math] son rectos.

(b) Como [math] es cuadrado, [math] es paralelo con [math], además por la congruencia de los ángulos, en los triángulos de lados opuestos, se desprende que sus lados homólogos son paralelos, por lo que estos son homotéticos en la razón -1, por lo tantoc [math], [math], [math] son concurrentes en el centro de homotecia, el cual es el punto medio de estos mismos segmentos, luego por esta misma razón [math] concurre también en el centro de homotecia.

Saludos