Tercera Fecha 2008 - Nivel Mayor

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Buster
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Tercera Fecha 2008 - Nivel Mayor

Mensajepor Buster » 08 Oct 2008, 21:01

Problema 1 Halle todas las parejas de primos [math] y [math], tales que

[math].

Problema 2.- Se reunen dos amigos, Víctor y Sebastián. Victor dice dos números enteros positivos, uno mayor que mil y otro menor que mil. Sebastián nota que el cuadrado de la razón entre la suma y la diferencia de los números es igual a uno mas la razón entre el producto y la suma de los números.
¿Cuál es el menor de éstos numeros?

Problema 3.- Sea [math] que cumple:[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

Decida si existe [math] número natural tal que:
[math]
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matthies
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Re: Tercera Fecha 2008 - Nivel Mayor

Mensajepor matthies » 30 Dic 2010, 19:06

P1
Como [math]

Además por el pequeño teorema de Fermat:

[math]

O bien [math]

Por otra parte, un manejo algebraico de la ecuación produce:

[math]

Como q es primo: [math]

De cualquier manera: [math]

Se concluye finalmente que: [math]
tenemos 3 casos:

i)[math], en este caso tenemos 2 primos consecutivos, han de ser 2 y 3, es directo verificar que [math] no satifacen la ecuación

ii)[math], no es posible debido a que [math]

iii)[math], como en el primer caso, tenemos que esto implica que [math], [math], como estos sí cumplen la ecuación, obtenemos la única solución del problema.
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ElGik
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Re: Tercera Fecha 2008 - Nivel Mayor

Mensajepor ElGik » 02 Ene 2011, 20:00

Buster escribió:Problema 2.- Se reunen dos amigos, Víctor y Sebastián. Victor dice dos números enteros positivos, uno mayor que mil y otro menor que mil. Sebastián nota que el cuadrado de la razón entre la suma y la diferencia de los números es igual a uno mas la razón entre el producto y la suma de los números.
¿Cuál es el menor de éstos numeros?


Sean [math] los dos números. Por enunciado

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

Es decir, [math]. Las soluciones de esta ecuacion de segundo grado son

[math] y [math]. Descarto el ultimo caso, porque [math].

Necesito que [math] sea cuadrado perfecto para que [math] sea entero. Como [math] es impar, [math] es impar, es decir, [math], para x entero positvo. Es decir,

[math]

Si [math], tengo que [math], luego [math] Escogiendo [math] obtengo [math] y [math]. Por lo tanto el menor numero vale 924.

ElGik
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Re: Tercera Fecha 2008 - Nivel Mayor

Mensajepor ElGik » 06 Feb 2012, 16:14

Una visión distinta al Problema 1.

Si analizamos la paridad podemos ver 2 casos:

Si [math] es par, entonces necesariamente [math] es impar, y dado que p es primo, entonces [math]. Luego se obtiene la ecuación [math] la cual es equivalente a [math], por lo que (2,3) es solución.

Si [math] es par, entonces notemos que [math] es siempre impar, entonces [math] debería ser impar, para esto, [math] no puede ser par, o sea, [math] debe ser impar, pero [math] es impar, por lo tanto [math] es par, contradicción.

Por lo tanto, no existen p,q primos tales que se cumple la ecuación.

GregorySmomy
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Re: Tercera Fecha 2008 - Nivel Mayor

Mensajepor GregorySmomy » 12 Sep 2019, 11:03



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