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Primera Fecha

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Notapor Buster » 31 Oct 2009, 12:08

Problema 1: Satélite Lunar - Desde una base ubicada en la superficie lunar se desea poner en órbita un satélite, para esto, primero el satélite será propulsado verticalmente con un cañón hasta alcanzar una altura de 10 km. Finalmente, al encontrarse en esa altura, este detonará un pequeño explosivo que dotará al satlite de una rapidez horizontal.

Desprecie para esta pregunta los efectos del roce, la interacción con los demás astros y la rotación de la luna (es decir, considere a la luna un sistema inercial). Le será útil saber que la densidad promedio de la luna es de [math] y que su dimetro es de [math].

a) Determine la aceleración gravitacional en la superficie de la luna.

Para el resto de las preguntas, considere que la aceleración gravitacional de la luna es constante en el rango de alturas en las que trabajaremos.

b) Determine la rapidez con la que el cañón debe propulsar el satélite para que este se encuentre momentáneamente en reposo a los 10 km de altura.

c) Calcule la rapidez horizontal que debe adquirir el satélite para que este forme una órbita circular estable alrededor de la luna.

d) Calcule el periodo del satélite, es decir, el tiempo que demora en realizar una vuelta completa alrededor de la luna.

Problema 2: Un poco de relatividad - En relatividad especial, la masa de una partcula medida en un sistema de referencia en el cual se mueve con rapidez [math], tiene la forma [math], donde [math] y [math] es la masa en reposo. Por ello, la variación del momentum por unidad de tiempo toma la forma (no se pide que lo pruebe):
[math]

Considere una partícula de masa en reposo [math] que es soltada con velocidad cero en presencia de gravedad.

a) Muestre que, en este caso, la segunda ley de Newton, suponiendo que es válida en relatividad especial (y lo es, bajo ciertas condiciones) toma la forma:
[math]

b) Considere ahora la cada libre no relativista en presencia de una fuerza de roce que se opone a la dirección del movimiento y cuya magnitud está dada por [math], donde [math] es una constante conocida.

Muestre que la aceleración de una partcula de masa [math] bajo estas condiciones, está dada por:
[math]

c) Suponga que, bajo las condiciones dadas en b), la velocidad de una partcula que se deja caer desde el reposo está dada por: [math] , donde [math]
Con ello, muestre que la velocidad de la partícula cuya dinámica se describió en a) está dada por:
[math]
Interprete este resultado, y explique por qué los efectos relativistas son prácticamente despreciables en esta situación. Para ello puede serle útil la siguiente aproximación para [math] pequeño:
[math]
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Soluciones Oficiales Primera Fecha

Notapor Buster » 10 Nov 2009, 21:33

Problema 1

a) De acuerdo a la Ley de Gravitación Universal, la aceleración gravitacional en la superficie lunar [math]. Aproximando la luna a una esfera de densidad costante se tiene que [math], reemplazando se obtiene el resultado buscado [math].

b) Para calcular igualamos la energía potencial a una altura de 10 km con la energía cinética con la que despega.

[math]

c) Para que el satélite mantenga una órbita circular se necesita que la fuerza ejercida por la luna sobre el satélite sea equivalente a la fuerza centrípeta necesaria.

[math]
[math]

d) La velocidad angular del cuerpo corresponde a [math] por lo que su período está dado por

[math]


Problema 2

a) Notemos primero que:
[math]
de esta forma la variación de momentum se puede expresar como:
[math]
Aplicando la segunda ley de Newton:
[math]

b) Aplicando directamente la segunda ley de Newton:
[math]

c) Basta notar que la ecuación derivada en a) se puede escribir como [math] , así que como la ecuación es la misma que en b) y las condiciones iniciales son las mismas, el movimiento debe estar descrito por la misma solución tomando [math], de donde se sigue que [math], y que
[math]

Sobre este problema se pueden comentar un par de cosas: Lo primero es que [math] no puede ser grande, pues para eso la altura desde la que cae la partícula debe ser también muy grande, y en ese rango la aproximación [math] no es válida (se tendría que considerar la ley de gravitación universal en toda su generalidad). En otras palabras, implícitamente se está asumiendo que el problema es tal que [math] no puede ser muy grande, por lo que [math] es siempre pequeño.

Lo otro es que el término [math] no depende de [math], por lo que incluso considerando velocidades cercanas a la de la luz (es decir, un problema de caída libre totalmente relativista), [math] es pequeño.

La aproximación de [math] para x pequeño es sólo reemplazar en la aproximación de la exponencial, y se obtiene que

[math]

por lo que [math], que es exactamente la caída libre común y corriente.

En conclusión, la caída libre relativista es, para todos los efectos prácticos, indistinguible de la caída libre (sin roce) común.

Una acotación extra, que no se pide, es el hecho de que como [math] es menor que 1, [math] es siempre menor que [math], es decir, la velocidad de la luz aparece naturalmente como velocidad límite del movimiento.
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