Semana 14 - 2010

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Dinoplanet
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Semana 14 - 2010

Mensajepor Dinoplanet » 10 Jun 2010, 16:50

Dinoplanet escribió:La Olimpíada de Matemáticas Argentina (OMA), publica todos los días lunes los problemas de la semana y sugiere que en los colegios se ubiquen en algún lugar de acceso para los estudiantes.

Semana 14 - 2010


Las respuestas de los problemas, favor postearlas en esta sección.

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iMPuRe
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Re: Semana 14 - 2010

Mensajepor iMPuRe » 10 Jun 2010, 21:32

Primer Nivel
XIX-114


En la sala de espera hay 2 filas de 8 asientos cada una. Cuando llegan Fede y su papá, la sala está vacía. Si se quieren sentar uno al lado del otro o uno atrás del otro, ¿de cuántas maneras distintas pueden hacerlo?


Notemos que uno detras del otro se puede hacer de [math] maneras pues puede ir Fede delante de padre o alreves y tenemos [math] columnas de largo [math].
Notemos que uno al lado del otro se puede hacer de [math] maneras pues puede ir Fede a la derecha o a la izquierda de su padre, tenemos [math] filas y en cada fila podemos sentarlos de [math] maneras distintas.
Finalmente son [math] maneras.
http://mateolimpiadasin.blogspot.com/

Jumbito
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Re: Semana 14 - 2010

Mensajepor Jumbito » 11 Jun 2010, 18:15

notar que el p114 salio en el cmat de tercero 8)
Felipe Arbulú

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Assassin
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Re: Semana 14 - 2010

Mensajepor Assassin » 24 Jun 2010, 21:12

Semana 14 OMA escribió:Segundo Nivel

214. Sea [math] un cuadrilátero convexo tal que el triángulo [math] es equilátero y el triángulo [math] es isósceles, con [math] . Si [math] es el punto medio del lado [math], calcular la medida del ángulo [math] .


Solución 1:

Imagen

Tracemos la simetral del segmento [math] que pasa por [math]. Como [math] es equliátero y [math] es isósceles, esta recta pasa por [math] y por [math]. Ya que [math] es punto medio de [math] y [math] es rectángulo isósceles se tiene que [math] y que [math]. Ahora bien, notemos que ME es paralela media por lo que [math]. Pero [math] así que [math] por lo que el [math] es isósceles. Luego como [math] y [math] se tiene que [math]

Solución 2:

Imagen

Tracemos la transversal de gravedad [math]. Como el [math] es equilátero se tiene que [math] es altura, entonces [math]. Notemos ahora que el cuadrilátero [math] es cíclico ya que sus ángulos opuestos suman [math]. Por lo tanto [math]


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