Desafío 20191108

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elnumerodeoro
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Desafío 20191108

Mensajepor elnumerodeoro » 08 Nov 2019, 12:19

Enhebramos [math] perlas blancas y [math] perlas negras formando un collar abierto. Demuestre que, se haga en el
orden que se haga, siempre es posible cortar un segmento del collar con exactamente con [math] perlas blancas y [math] perlas negras.

Bruno Andrades
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Re: Desafío 20191108

Mensajepor Bruno Andrades » 08 Nov 2019, 13:05

Llamaremos un subcollar a un string de [math] perlas consecutivas. Enumeraremos a los subcollares de tal manera que el [math]-ésimo subcollar será aquel que contenga desde la [math]-ésima perla de izquierda a derecha hasta la [math]-ésima perla de izquierda a derecha. Si el primer subcollar tiene la misma cantidad de perlas blancas que negras, ganamos. Si no; supongamos sin pérdida de generalidad que hay más perlas blancas que negras. Si revisamos el segundo subcollar, hay dos opciones; primero, que la perla nueva sea del mismo color que la que ya no está, en cuyo caso la cantidad de perlas de cada color se mantiene constante, o que la perla nueva sea de un color distinto al de la perla que ya no está, en cuyo caso la cantidad de perlas de un color aumentará en uno, y la cantidad de perlas del otro disminuirá en uno. Notemos que la paridad de la cantidad de perlas de cada color es igual; sin importar que subcollar, ya que en un principio la cantidad de perlas debe sumar un número par ([math]) en cada subcollar. Además notemos que una vez que pasamos al siguiente subcollar; si no se mantuvo constante la cantidad de cada color, cada uno está en el número anterior o en el siguiente. Por lo tanto, si logramos demostrar que en el último paso, hay más negras que blancas habremos demostrado lo pedido, ya que como siempre van avanzando a lo más una unidad, deben haber tenido la misma cantidad de perlas en algún momento, ya que no puede pasar que sean cantidades consecutivas gracias a la propiedad de paridad. Pero notemos; que ya que la cantidad de blancas en el primer subcollar es mayor; debe ser mayor a [math], y si además fuera mayor en el último subcollar; esto implicaría que, ya que el primer subcollar y el último subcollar son disjuntos que la cantidad de blancas total es mayor a [math] lo cual no puede ser. Por lo tanto la cantidad de negras en el último collar es mayor a la cantidad de blancas, así, en alguno de los subcollares debió haber la misma cantidad de negras que de blancas.
[math] [math]


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