Página 1 de 1

Lista de problemas Nº2

Publicado: 13 Sep 2011, 13:36
por Assassin
Acá dejo la segunda lista de problemas, por mientras no habrá clases ya que la parte que les queda es sólo resolver problemas, aquí vamos:

Problema 1. Sea [math] un paralelógramo, y [math] un punto fuera de él, tal que [math]. Probar que [math].

Problema 2. Pruebe que todos los números de la forma 12008, 120308, 1203308, ... son divisibles por 19.

Problema 3. Encuentre todos los enteros positivos [math], [math] tales que,
[math]

Problema 4. Determine si existen funciones inyectivas [math] con la propiedad de que [math].

Problema 5. Los puntos [math] y [math] se encuentran en los lados [math] y [math], respectivemante, del triángulo [math], cumpliendo que [math]. La línea que une los circuncentros de los triángulos [math] y [math] intersecta a los segmentos [math] y [math] en [math] y [math] respectivamente. Demuestre que [math].

Problema 6. En un regimiento de 169 reclutas cada día 4 de ellos hacen guardia. ¿Es posible que después de un tiempo, cada par de soldados hayan hecho guardia juntos exactamente una vez?

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 14 Sep 2011, 14:24
por Gergajar
Problema 3:
[math]

[math]
[math]
Consideranado que [math] y [math] son enteros, en pocas ocasiones se da que un entero [math] multiplicado por otro [math] resulta el sucesor en paridad de [math].
Así , probando para el primer valor entero positivo de b, la igualdad no se cumple ya que [math] y [math]
Para [math] y [math]
Para [math] y [math]
Para [math] y [math], no se cumple la condicion de aquí en adelante...
[math] las únicas soluciones enteras positivas son [math] y [math]

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 14 Sep 2011, 14:54
por Assassin
mancho_007 escribió:Problema 3:
[math]

[math]
[math]
Consideranado que [math] y [math] son enteros, en pocas ocasiones se da que un entero [math] multiplicado por otro [math] resulta el sucesor en paridad de [math].
Así , probando para el primer valor entero positivo de b, la igualdad no se cumple ya que [math] y [math]
[math]
[math]
[math], no se cumple la condicion de aquí en adelante...
[math] las únicas soluciones enteras positivas son [math] y [math]


Efectivamente esas son las soluciones, pero te recomiendo verlo de una manera más formal, es decir, buscando una factorización para luego evaluar sistemas de ecuaciones.

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 14 Sep 2011, 15:11
por Gergajar
Jajaj , como diría Matthies: " Solución yo sé poquito " xDD

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 14 Sep 2011, 15:43
por Gergajar
Problema 3 (2.0)

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Como 2 es primo, existen 2 posibilidades:
[math]
[math]
De donde se obtienen los resultados para [math]
*No considero las multiplicaciones [math] ya que no se cumplen las condiciones de enteros positivos.

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 14 Sep 2011, 23:55
por Assassin
mancho_007 escribió:Problema 3 (2.0)

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Como 2 es primo, existen 2 posibilidades:
[math]
[math]
De donde se obtienen los resultados para [math]
*No considero las multiplicaciones [math] ya que no se cumplen las condiciones de enteros positivos.


Ahora sí la solución esta perfect, sólo para mejorar la notación conviene anotar que las soluciones [math] son los pares [math] y [math].

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 04 Oct 2011, 00:06
por Gergajar
Problema 2:
Pruebe que todos los números de la forma 12008, 120308, 1203308, ... son divisibles por 19.

Se tiene que para el primer número:
I.- [math] ya que [math]
Luego lo que se adiciona a [math] al agregar un 3 en medio es: [math]. Y lo que se adiciona a [math] al agregar otro 3 es: [math] es decir, una cantidad 10 veces mayor que la anterior.
Pero [math] ( ya que es 19*57) y por ende :
II.- [math] para cualquier a [math] pero en este caso, [math]
Finalmente : [math] demostrando lo pedido

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 04 Oct 2011, 22:33
por Buster
Creo que no leíste los puntos suspensivos.

Con inducción puedes terminar la demostración como ibas.

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 04 Oct 2011, 23:46
por Gergajar
El valor de a puede ser desde 0 hasta infinito.
EDIT:
Los siguientes números se construyen de forma similar, solo modificando el valor de [math] por [math]

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 29 Jun 2013, 02:45
por SoyUnSerInerte
Problema 4

Si [math], entonces [math], de donde [math], que al ser un cuadrado, no puede ser negativo, luego ocurre la igualdad, de donde obtenemos que [math]. De forma análoga, con [math] obtenemos [math], por lo tanto [math], luego [math] no es inyectiva.

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 29 Jun 2013, 13:19
por Buster
Correcto, salvo por el detalle de que nunca contradijiste nada. Sólo demostraste que la propiedad hace que la función no sea inyectiva.

Re: Lista de problemas Nº2

Publicado: 03 Dic 2019, 16:29
por CarmenMijares
Que genial, me encanta mucho que podamos solventar este problema es genial todo esto porque es posible que nosotros nos encanta compartir. En la última mudanza perdí muchas cosas.