Otro de Ecs. funcionales

[elnumerodeoro]

Encontrar todas las funciones [math]f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, tales que
[math]f(x^y) = yf(x)\qquad \forall x>0 \qquad \forall y \in \mathbb{R}.

[cristobal.dona]

Supongamos la función vale p para un cierto valor k, [math]f(k)=p, ambos genéricos. Luego se tiene que con este valor se puede obtener la imagen para cualquier otro punto x. En otras palabras:
[math](\forall x > 0)(\exists \; y=log_k(x) \in \mathbb{R}) \text{ tal que } k^y = x Luego se tiene que [math]f(k^y) = y\cdot f(k) \Rightarrow f(x) = log_k (x) \cdot p, luego existe una función para cada p dado.