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Problema Nº 1

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Problema Nº 1

Notapor elnumerodeoro » 22 Jul 2013, 08:46

Probar que
[math]
No tiene soluciones en los racionales.
elnumerodeoro
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Re: Problema Nº 1

Notapor elnumerodeoro » 24 Jul 2013, 00:26

Se declara desierto...
elnumerodeoro
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Re: Problema Nº 1

Notapor sebIN » 21 Ago 2013, 23:02

Como nadie hizo el problema y veo que esta desierto, compartiré mi solución al problema
Procedamos por contradicción, supongamos que si existen tales [math] que cumplen lo pedido.Notemos que la ecuación es equivalente a:

[math]


Entonces consideremos los racionales [math], [math] y [math], entonces haciendo[math], [math] y[math] con [math] enteros, esto nos asegura que existen enteros [math] tales que:

[math]


Entonces tenemos 2 casos: [math]es par o [math] es impar.

Si d fuera par entonces [math], entonces a,b,c son todos pares, entonces existen [math]` tales que [math], es decir:

[math]

[math]


Entonces al dividir tantos 2`s que tiene d, vamos a llegar a un instante en que d sea impar, entonces basta ver el caso en que d es impar. Luego si d es impar nos queda que [math], entonces a,b,c son todos impares, sean [math], vamos a tener que:

[math]
[math]
[math]
[math]


Pero notemos que n^2+n es par para todo n entero, entonces nos queda que que el lado izquierdo es par y el lado derecho es impar, contradicción. Luego no existen soluciones racionales, que era lo que queríamos demostrar [math]
Saludos :)!!!
sebIN
 
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