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Problema Nº 1. Nivel Menor

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Problema Nº 1. Nivel Menor

Notapor elnumerodeoro » 24 Sep 2014, 00:51

Se tiene un pastel cúbico de 3 x 3 x 3, dividido en 27 cubitos de 1 x 1 x 1.
Una hormiga amaestrada se quiere comer el pastel, sin embargo, puede comerse de a un cubito a la vez y si quiere seguir comiendo debe hacerlo en un cubito vecino, entendiendo por tal, el que tiene una cara en común. Sabiendo que no puede pasar por el mismo cubito mas de una vez y partiendo por un cubito de cualquier vértice: Mostrar que no puede comerse todo el pastel, si quiere terminar comiéndose el cubito del centro.
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Re: Problema Nº 1. Nivel Menor

Notapor elnumerodeoro » 27 Oct 2014, 19:45

Una solución:
Sin pérdida de generalidad, diremos que los cubitos son de colores distintos cuando son vecinos.
Supongamos que el color de los vértices es negro y el color de los vecinos es blanco, entonces el cubito del centro es blanco.
Tenemos [math] cubitos negros y [math] cubitos blancos.
La hormiga parte en un cubito negro (el de la esquina de cualquier lado) y debe seguir con uno blanco (vecino de uno negro). En esas condiciones terminará siempre en un cubito negro. Como sabemos que el cubito del centro es blanco, podemos concluir que, a menos que pase dos veces por un cubito blanco, no podrá ser el cubito del centro el último en comerse.
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