Problema Nº 2. Nivel Mayor

[elnumerodeoro]

Los vértices de un hexágono regular de lado [math]a son los centros de circunferencias cuyo radio es [math]\frac{a}{\sqrt{2}}. Hallar el área de la parte del hexágono que queda fuera de estas circunferencias.

[elnumerodeoro]

Una Solución:
El área pedida [math]A es [math]6 veces el área IMGJ de la figura.
Tenemos:
[math](IMGJ) = (\triangle IEF) - (ELM) - (FJK) + (KLG)
donde:
[math](\triangle IEF) = [math]\frac{a²}{4}[math]\sqrt{3}
[math](ELM) = (FJK) = [math]\frac{\pi}{3}\frac{a²}{2}
y
[math](KLG) = \frac{(FGH) - (\triangle FGH}{2} = [math]\frac{\pi}{2}\frac{a²}{2} - \frac{a²}{4} = \frac{a²}{4}[math](\pi - 1)
entonces
[math](IMGJ) = [math]\frac{a²}{4}[math]\sqrt{3} -[math]\frac{a²\pi}{3} + \frac{a²}{4}[math](\pi - 1) =[math]\frac{a²}{12}[math](3\sqrt{3} - \pi - 3)
Por lo tanto:
[math]A =[math]\frac{a²}{2}[math](3\sqrt{3} - \pi - 3)