Primera Fecha - Nivel Menor

[elnumerodeoro]

P1. Se tiene un tablero de [math]8\times 8 pintado como en el ajedrez, en el que se puede realizar el siguiente cambio: Se escoge un rectángulo mayor a [math]1 \times 1 y cuyos lados sean ambos pares o ambos impares, y se invierten sus colores; es decir, en el rectángulo escogido las casillas blancas se convierten en negras y las negras en blancas.
¿Es posible lograr que el tablero completo quede blanco después de efectuar cambios permitidos tantas veces como sea necesario?
Observaciones: Un cuadrado cae en la categoría de rectángulo; y en el ajedrez la casilla inferior derecha es blanca.

P2. Pruebe que no existe un triángulo rectángulo con todos sus lados enteros y uno de sus catetos igual a [math]2.

P3. Se anotan los números impares partiendo con el [math]3 hasta llegar al [math]19, cada uno en una ficha, y se depositan sobre una mesa.
Dos jugadores A y B toman alternadamente una ficha para ellos. Cuando se acaban las fichas en la mesa, cada uno calcula el producto de los números de sus fichas y al resultado le suma [math]1.
Gana el que haya obtenido un valor que sea divisible por [math]4.
Si A comienza eligiendo en el juego, ¿hay alguna estrategia con la que pueda asegurar que ganará?

[elnumerodeoro]

Sol P1. Dividimos el tablero en subtableros de [math]4\times 4. En cada uno de ellos se realizan las siguientes operaciones:

Se divide en dos rectángulos de [math]4\times 2, se toma cada uno de ellos cambiando los colores.
Se toma entonces el rectángulo de la [math]2ª y [math]3ª columnas y se hace lo mismo.
Se toma el rectángulo de [math]2\times 4 correspondiente a la [math]1ª y [math]2ª fila cambiando sus colores;
y por último se cambia el rectángulo de [math]2\times 4 correspondiente a la [math]2ª y [math]3ª fila, cambiando sus colores, con lo que el tablero completo queda blanco.

[elnumerodeoro]

Sol P2. Supongamos que existe un triángulo como el que dice el enunciado. Sea [math]c la medida del otro cateto y [math]h la medida de la hipotenusa, ambos números naturales. Por el teorema de Pitágoras se tiene que:

[math]2^2 + c^2 = h^2

De donde [math]4 = h^2 - c^2 = (h + c)(h - c)

Como [math](h + c) y [math](h - c) tienen la misma paridad, la única opción es [math]h + c = 2\qquad y [math]\qquad d - c = 2, lo que no puede ser pues [math](h + c) es mayor que [math](h - c).

Entonces no hay soluciones para la ecuación y por tanto no existe dicho triángulo.

[elnumerodeoro]

Sol P3. Si nos fijamos, en la mesa hay [math]9 números de la forma [math]4k + 3\quad y [math]\quad 8 números de la forma [math]4k + 1.
El producto de dos números de la forma [math]4k + 1 nos da un numero de la forma [math]4k + 1; el producto de dos números de la forma [math]4k + 3 nos da un número de la forma [math]4k + 1 y el producto de un número de la forma [math]4k + 3 y un número de la forma [math]4k + 1 nos da un número de la forma [math]4k + 3.

El jugador [math]A elige un número de la forma [math]4k + 3 y en las jugadas siguientes repite lo que haga [math]B, lo que hace que [math]A tenga al final del juego [math]5 números de la forma [math]4k + 3\quad y [math]\quad B tenga [math]4 de estos números.

Por lo tanto el producto de los números que tienen en su mano es para [math]A de la forma [math]4k + 3 en cambio [math]B tendrá un producto de la forma [math]4k + 1, entonces el resultado final de [math]A será de la forma [math]4k y el de [math]B será de la forma [math]4k + 2.

Entonces [math]A puede asegurar que siempre ganará.