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Primera Fecha - Nivel Menor

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Primera Fecha - Nivel Menor

Notapor elnumerodeoro » 17 Oct 2016, 23:07

P1. Se tiene un tablero de [math] pintado como en el ajedrez, en el que se puede realizar el siguiente cambio: Se escoge un rectángulo mayor a [math] y cuyos lados sean ambos pares o ambos impares, y se invierten sus colores; es decir, en el rectángulo escogido las casillas blancas se convierten en negras y las negras en blancas.
¿Es posible lograr que el tablero completo quede blanco después de efectuar cambios permitidos tantas veces como sea necesario?
Observaciones: Un cuadrado cae en la categoría de rectángulo; y en el ajedrez la casilla inferior derecha es blanca.

P2. Pruebe que no existe un triángulo rectángulo con todos sus lados enteros y uno de sus catetos igual a [math].

P3. Se anotan los números impares partiendo con el [math] hasta llegar al [math], cada uno en una ficha, y se depositan sobre una mesa.
Dos jugadores A y B toman alternadamente una ficha para ellos. Cuando se acaban las fichas en la mesa, cada uno calcula el producto de los números de sus fichas y al resultado le suma [math].
Gana el que haya obtenido un valor que sea divisible por [math].
Si A comienza eligiendo en el juego, ¿hay alguna estrategia con la que pueda asegurar que ganará?
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Re: Primera Fecha - Nivel Menor

Notapor elnumerodeoro » 17 Oct 2016, 23:20

Sol P1. Dividimos el tablero en subtableros de [math]. En cada uno de ellos se realizan las siguientes operaciones:

Se divide en dos rectángulos de [math], se toma cada uno de ellos cambiando los colores.
Se toma entonces el rectángulo de la [math] y [math] columnas y se hace lo mismo.
Se toma el rectángulo de [math] correspondiente a la [math] y [math] fila cambiando sus colores;
y por último se cambia el rectángulo de [math] correspondiente a la [math] y [math] fila, cambiando sus colores, con lo que el tablero completo queda blanco.
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Re: Primera Fecha - Nivel Menor

Notapor elnumerodeoro » 17 Oct 2016, 23:33

Sol P2. Supongamos que existe un triángulo como el que dice el enunciado. Sea [math] la medida del otro cateto y [math] la medida de la hipotenusa, ambos números naturales. Por el teorema de Pitágoras se tiene que:

[math]

De donde [math]

Como [math] y [math] tienen la misma paridad, la única opción es [math] y [math], lo que no puede ser pues [math] es mayor que [math].

Entonces no hay soluciones para la ecuación y por tanto no existe dicho triángulo.
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Re: Primera Fecha - Nivel Menor

Notapor elnumerodeoro » 17 Oct 2016, 23:51

Sol P3. Si nos fijamos, en la mesa hay [math] números de la forma [math] y [math] números de la forma [math].
El producto de dos números de la forma [math] nos da un numero de la forma [math]; el producto de dos números de la forma [math] nos da un número de la forma [math] y el producto de un número de la forma [math] y un número de la forma [math] nos da un número de la forma [math].

El jugador [math] elige un número de la forma [math] y en las jugadas siguientes repite lo que haga [math], lo que hace que [math] tenga al final del juego [math] números de la forma [math] y [math] tenga [math] de estos números.

Por lo tanto el producto de los números que tienen en su mano es para [math] de la forma [math] en cambio [math] tendrá un producto de la forma [math], entonces el resultado final de [math] será de la forma [math] y el de [math] será de la forma [math].

Entonces [math] puede asegurar que siempre ganará.
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