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Primera Fecha - Nivel Mayor

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Primera Fecha - Nivel Mayor

Notapor elnumerodeoro » 01 Nov 2016, 18:28

P1. Sea p un número primo impar. Pruebe que existe un único triángulo rectángulo, con todos sus lados números enteros, tal que uno de sus catetos vale p.

P2. Se anotan 2017 números impares consecutivos partiendo con el 2017, cada uno en una ficha, y se depositan sobre una mesa. Dos jugadores A y B toman alternadamente una ficha para ellos. Cuando se acaban las fichas en la mesa, cada uno calcula el producto de los números de sus fichas y al resultado le suma 1. Gana el que haya obtenido un valor que sea divisible por 4. Si A comienza eligiendo en el juego, ¿hay alguna estrategia con la que pueda asegurar que ganará?

P3. Se tiene un tablero de n x n pintado como en el ajedrez, en el que se puede realizar el siguiente cambio: Se escoge un rectángulo mayor a 1x1 y cuyos lados sean ambos pares o ambos impares, y se invierten sus colores; es decir, en el rectángulo escogido las casillas blancas se convierten en negras y las negras en blancas.
¿Para qué valores de n es posible lograr que el tablero quede de un solo color, después de efectuar cambios permitidos tantas veces como sea necesario?
Observaciones: Un cuadrado cae en la categoría de rectángulo; y en el ajedrez la casilla inferior derecha es blanca.
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Re: Primera Fecha - Nivel Mayor

Notapor elnumerodeoro » 01 Nov 2016, 19:23

Sol P1. El problema es equivalente a probar que la ecuación:
[math]

tiene solución única con [math], pues si existe un triángulo rectángulo de catetos [math] y [math] e hipotenusa [math], entonces [math] y [math] satisfacen la ecuación [math], recíprocamente, si [math] satisfacen [math], entonces:
[math]

por lo que [math] son los lados de un triángulo, pues verifican las desigualdades triangulares, y dicho triángulo es rectángulo pues verifica el teorema de pitágoras.

Pero si [math] verifican [math], entonces:
[math]

como [math] y [math] sólo se puede descomponer en dos factores enteros positivos como [math] y [math], concluímos que el único caso posible es:
[math]

De donde obtenemos que la única solución al sistema es:
[math]

Que son números naturales pues [math] es impar.

Sol P2. Si nos fijamos, en la mesa hay [math] números de la forma [math] y [math] números de la forma [math]. El producto de dos números de la forma [math] nos da un numero de la forma [math]; el producto de dos números de la forma [math] nos da un número de la forma [math] y el producto de un número de la forma [math] y un número de la forma [math] nos da un número de la forma [math].
El jugador [math] elige un número de la forma [math] y en las jugadas siguientes repite lo que haga [math], lo que hace que [math] tenga al final del juego, [math] números de la forma [math] y [math] tenga [math] de estos números. Por lo tanto el producto de los números que tienen en su mano es para [math] de la forma [math] en cambio [math] tendrá un producto de la forma [math], entonces el resultado final de [math] será de la forma [math] y el de [math] será de la forma [math].
Entonces [math] puede asegurar que siempre ganará.

Sol P3.. Es claro que para [math] es imposible.

Para [math]:

Si [math] es impar.
Tomamos los rectángulos de [math] correspondientes a las filas impares y cambiamos sus colores. De esta manera todas las columnas impares quedan negras, luego tomamos rectángulos de [math] correspondientes a las columnas, si tomamos las impares el tablero quedará completo en blanco, si tomamos las pares, el tablero completo quedará negro.

Si [math] es par.
- Digamos que [math] con [math] y [math] impar. entonces dividimos el tablero en subtableros de [math], en cada uno de ellos realizamos el procedimiento para tableros impares.
- Digamos que [math] con [math], entonces dividimos el tablero en subtableros de [math]. En cada uno de ellos se realizan las siguientes operaciones:
Se divide en dos rectángulos de [math], se toma cada uno de ellos cambiando los colores. Se toma entonces el rectángulo de la [math] y [math] columnas y se hace lo mismo. Se toma el rectángulo de [math] correspondiente a la [math] y [math] fila cambiando sus colores; y por último se cambia el rectángulo de [math] correspondiente a la [math] y [math] fila, cambiando sus colores, con lo que el tablero completo queda blanco.
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