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Segunda Fecha Nivel Mayor

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Segunda Fecha Nivel Mayor

Notapor elnumerodeoro » 02 Nov 2016, 00:06

P1. Considere el triángulo [math] de la figura, que es rectángulo en [math] y tiene sus lados de medidas [math] y [math]. Además, la circunferencia de centro [math] y radio [math] es tangente a las rectas que contienen los lados del triángulo, tal como se muestra en la figura.

Imagen

i) Pruebe que [math].
ii) Pruebe que si [math] y [math] son enteros, entonces [math] también lo es. Indicación: puede asumir que la igualdad de la parte i) es cierta.

P2. Durante muchos años Cristóbal participó en una competencia olímpica, en la que también participaron sus dos grandes rivales de toda la vida, Anibal y Zeus. A causa de su problema de memoria no es capaz de recordar la cantidad de pruebas que tuvo la competencia, pero sí recuerda ciertos datos de la misma:

i) En cada competencia se entregó una medalla de oro al primer lugar, una de plata al segundo, y una de bronce al tercero.

ii) Cada medalla tenía asociado un puntaje, que era un número entero positivo distinto para cada una, correspondiendo el mayor a la de oro y el menor a la de bronce.

iii) En cada una de las pruebas los medallistas fueron Cristóbal, Aníbal y Zeus.

Además, en una vieja foto pueden verse los puntajes totales obtenidos por cada uno; de este modo se sabe que Cristóbal obtuvo 10 puntos en total, en tanto que Aníbal obtuvo 15 y Zeus 8. Junto a la fotografía, Cristóbal guarda su preciada medalla de oro de la prueba de lucha libre que obtuvo en aquella ocasión, aunque encontró también la medalla de plata de salto largo, pero no recuerda haberla ganado. Es por eso que al enterarse de que usted está participando en una competencia de matemáticas ha decidido pedirle ayuda. ¿A quién pertenece la medalla de plata en salto largo?

P3. Llamaremos odioso al conjunto de números enteros positivos en el que para cualquier par de enteros [math] y [math] (con [math]) en el conjunto, se cumpla que [math] divide a [math]. Encuentre un conjunto odioso de 5 números y determine si es que existe uno de 6 números.
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Re: Segunda Fecha Nivel Mayor

Notapor elnumerodeoro » 02 Nov 2016, 01:15

Sol P1. Como el radio es perpendicular a las tangentes, se tiene que [math] es un cuadrado, de donde [math] y [math]. Además, como las tangentes a una circunferencia por el mismo punto son iguales, se tiene que [math] y [math], de donde [math]. Reordenando lo anterior se obtiene [math].

Imagen

Basta concluir que [math] es siempre par. Para eso consideramos la igualdad del teorema de Pitágoras [math] y enumeramos cada caso:

i) [math] par e [math] par: entonces [math] es par y [math] también.
ii) [math] par e [math] impar: entonces [math] es impar y [math] es par.
iii) [math] impar e [math] par: entonces [math] es impar y [math][math]es par.
iv) [math] impar e [math] impar: entonces [math] es par y [math] también.

Sol P2. Sean [math] los puntajes asociados a las medallas de oro, plata y bronce respectivamente, y sea [math] la cantidad de pruebas de la competencia, entonces el puntaje total repartido en la competencia está dado por [math]. Además en todas las pruebas los medallistas fueron Cristóbal, Aníbal y Zeus, por lo que el puntaje total es [math]. Luego:

[math]


Como [math] se tiene que [math] (pues el mínimo sería si [math]). Además [math], pues al menos hubo competencia de lucha libre y de salto largo. Los únicos números enteros mayores que [math] cuyo producto es [math] son [math] y [math], por lo que forzosamente [math] y [math]. De aquí se tiene [math] (pues el máximo sería si [math]).

Notemos que [math] no podría valer [math], pues Aníbal y Cristóbal podrían tener a lo más una medalla de oro cada uno y Zeus no podría tener ninguna (pues no podría tener más medallas), lo cual no es posible, pues debe haber un total de tres medallas de oro.

Tampoco [math] puede valer [math], ya que si fuese el caso entonces Cristóbal habría obtenido 3 puntos entre las dos pruebas que no eran lucha libre, no podría haber obtenido dos medallas iguales en estas dos pruebas (pues 3 es impar), de donde [math] y entonces [math], lo cual no es cierto.

Por otra parte, Aníbal obtuvo un puntaje estrictamente menor al que habría obtenido con [math] medallas de oro, es decir:

[math]


De donde se sigue que [math] y por ende [math]. Como Cristóbal obtuvo [math] puntos por su medalla de oro en lucha libre, luego los otros [math] los obtuvo en las otras dos pruebas; no podrían ser las dos medallas distintas (porque [math]), por lo que obtuvo dos medallas iguales en las otras dos competencias y el puntaje asignado a esa medalla es [math]. De aquí se tiene [math] y [math].

Por último, la única forma de satisfacer los requerimientos es que Aníbal haya obtenido dos medallas de oro y una de plata, Cristóbal haya obtenido dos medallas de bronce y una de oro, y Zeus haya obtenido dos medallas de plata y una de bronce.

Para concluir, notamos que Aníbal debe haber obtenido medalla de plata en lucha libre, pues fue la única prueba en la que no obtuvo medalla de oro, y que entonces la medalla de plata en salto largo pertenece a Zeus, pues él obtuvo el resto de las medallas de plata.


Sol P3. Un conjunto odioso de [math] números es [math]. Consideramos el mínimo común múltiplo del conjunto ([math]); si lo sumamos a cada elemento y además lo agregamos como uno nuevo, obtenemos un conjunto de [math] números [math] que también es odioso. De la misma forma obtenemos el conjunto odioso [math] de [math] números, lo que concluye el problema.

Para entender por qué sucede razonamos en forma inductiva. Llamemos [math] el [math] del conjunto original, entonces al agrandarlo se deben satisfacer dos condiciones: que [math] divida a [math], y que [math] divida a [math]. Lo primero es cierto pues [math] divide a [math]. Para lo segundo, notemos primero que si [math] divide a [math] entonces también divide a [math]; como ya sabemos que [math] divide a [math] y como [math] divide a [math], por transitividad [math] divide a [math].
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