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Uno de ecuaciones funcionales

Uno de ecuaciones funcionales

Notapor elnumerodeoro » 16 Abr 2017, 20:28

Sea [math] tal que [math]

[math]

Encuentre [math] tal que [math]
elnumerodeoro
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Re: Uno de ecuaciones funcionales

Notapor Pancracio » 16 Abr 2017, 21:07

Solución
Notar que [math]. Además, [math] , ya que si no lo fuera, [math] no estaría bien definida. Luego, trabajando la ecuación principal:

[math]. Como [math], al elevar al cuadrado:
[math]

Análogamente,
[math]

Igualando (1) y (2), se tiene:

[math].

Como x es arbitrario, [math] cumple lo pedido.
Cordiales los saludos.
Pancracio
 
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Re: Uno de ecuaciones funcionales

Notapor nicolasjofreu » 24 Abr 2017, 00:30

Tenemos la ecuación principal:

(1) [math]

Primero que todo, reemplazamos x por x+1 en la ecuación principal:

(2) [math]

Como en (1) tenemos el valor de f(x+1), lo podemos reemplazar en (2), quedándonos lo siguiente:

[math]

Si desarrollamos esto nos queda que:

[math]
[math]
[math]
[math]

Antes de poder simplificar la raíz con el cuadrado tenemos que demostrar que [math], ya que la raiz cuadrada del cuadrado es el modulo y si demostramos que [math]. No alterará la ecuación si los simplificamos.
Lo primero que haremos sera reemplazar x-1 por x en la ecuación principal, que nos quedaría:

[math]

De acá facilmente podemos notar que [math] ya que [math]
porque sino la funcion pasaria al conjunto de los complejos y la funcion esta dada en los reales, y con esto queda demostrado que [math], por lo que podemos simplificar el cuadrado con la raiz, entonces siguiendo con la ecuacion:

[math]
[math]

[math]
nicolasjofreu
 
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