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Cuadrática II

Cuadrática II

Notapor Pancracio » 01 May 2017, 22:36

Sea [math] un polinomio cuadrático con coeficientes no negativos. Probar que para cualquier par de reales [math] e [math], [math].
(Rusia 1997)
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Re: Cuadrática II

Notapor Daniel Báez » 02 May 2017, 10:52

Digamos que P(x)=ax^2+bx+c con a,b,c no negativos
Si P(xy)^2 fuera menor o igual a P(x^2)*P(y^2) tendríamos que P(x^2)*P(y^2)-P(xy)^2 es mayor a 0
Desarrollando la ecuación P(x^2)*P(y^2)-P(xy)^2 obtenemos ab(x-y)^2+ac(x^2-y^2)^2+bc(x-y)^2 lo cual es mayor o igual a 0 porque a,b,c son no negativos y todos los cuadrados son mayores o iguales a 0, por lo tanto se cumple y queda demostrado
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Re: Cuadrática II

Notapor Pancracio » 03 May 2017, 00:26

Daniel Báez escribió:Digamos que P(x)=ax^2+bx+c con a,b,c no negativos
Si P(xy)^2 fuera menor o igual a P(x^2)*P(y^2) tendríamos que P(x^2)*P(y^2)-P(xy)^2 es mayor a 0
Desarrollando la ecuación P(x^2)*P(y^2)-P(xy)^2 obtenemos ab(x-y)^2+ac(x^2-y^2)^2+bc(x-y)^2 lo cual es mayor o igual a 0 porque a,b,c son no negativos y todos los cuadrados son mayores o iguales a 0, por lo tanto se cumple y queda demostrado


Si tienes [math] y pruebas que [math] es verdadero, no significa que [math] lo sea (en este caso se tiene [math], por lo que al probar un lado se prueba el otro, pero en el caso general no se cumple). Por otro lado, ¿Estás seguro de que es [math] y no [math]? (en este caso tampoco afecta, ya que como dices los cuadrados de reales son [math], pero de todos modos hay que tener cuidado). Fuera de eso, la solución está bien.

P.D: Intenta usar latex pls, por temas de formato.
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