Producto Suma

[iMPuRe]

Determine, demostrandolo, el mayor numero que es producto de enteros positivos de suma [math]1976.

Fuente: IMO 1976 P4

[sí-sí el residente]

Veamos, haber como esta mi solción:
Sean [math]x,y los números, tenemos

[math]x+y=1976 y [math]x \cdot y=c siendo c el maximo valor

de la primera ecuacion tenemos que [math]y=1976-x y la reemplzamos en la segunda ecuación y nos queda

[math]x\cdot (1976-x)=c
[math]-x^2+1976x-c=0
Donde se forma una ecuacion de segundo grado.
Podemos notar que la parabola se abre hacia abajo, por tanto existe un valor maximo y este esta determinado para el valor [math]x=\dfrac{-b}{2a}

Entonces [math]x=988
y reemplazando en la primera ecuacion [math]y=988

y por tanto el maximo valor c, es [math]988\cdot 988=976144
____________________________________________________________________

Ahora me di cuenta que puede ser mas de dos numeros parece
pero igual dejo eso, por si acaso

[iMPuRe]

Veamos, haber como esta mi solción:
[math]Sean x,y los números, tenemos

[math]x+y=1976 y [math]x \cdot y=c siendo c el maximo valor

de la primera ecuacion tenemos que [math]y=1976-x y la reemplzamos en la segunda ecuación y nos queda

[math]x\cdot (1976-x)=c
[math]-x^2+1976x-c=0
Donde se forma una ecuacion de segundo grado.
Podemos notar que la parabola se abre hacia abajo, por tanto existe un valor maximo y este esta determinado para el valor [math]x=\dfrac{-b}{2a}

Entonces [math]x=988
y reemplazando en la primera ecuacion [math]y=988

y por tanto el maximo valor c, es [math]988\cdot 988=976144
____________________________________________________________________

Ahora me di cuenta que puede ser mas de dos numeros parece
pero igual dejo eso, por si acaso

Claro... edita

[iMPuRe]

Veamos, haber como esta mi solción:
[math]Sean x,y los números, tenemos

[math]x+y=1976 y [math]x \cdot y=c siendo c el maximo valor

de la primera ecuacion tenemos que [math]y=1976-x y la reemplzamos en la segunda ecuación y nos queda

[math]x\cdot (1976-x)=c
[math]-x^2+1976x-c=0
Donde se forma una ecuacion de segundo grado.
Podemos notar que la parabola se abre hacia abajo, por tanto existe un valor maximo y este esta determinado para el valor [math]x=\dfrac{-b}{2a}

Entonces [math]x=988
y reemplazando en la primera ecuacion [math]y=988

y por tanto el maximo valor c, es [math]988\cdot 988=976144
____________________________________________________________________

Ahora me di cuenta que puede ser mas de dos numeros parece
pero igual dejo eso, por si acaso

Claro... edita

Aun espero la edicion

[iMPuRe]

Notar que no es eficiente considerar el [math]5 pues [math]5=3+2 y [math]3 \cdot 2=6>5.
Notar que no es eficiente considerar numeros [math]n>5, pues de ser asi considerar [math]\left( n-5 \right),3,2 con [math]n=\left( n-5 \right)+3+2 y [math]\left( n-5 \right) \cdot 3 \cdot 2 = 6n-30>n \Leftrightarrow n>6 y [math]6 no es eficiente pues [math]6=3+3 y [math]3 \cdot 3 = 9 >6.
Notar que no es eficiente considerar el [math]1 pues [math]n= \left( n-1 \right)+1 y [math]n> \left( n-1 \right) \cdot 1=n-1.
Notar que elegir un [math]4 es equivalente a elegir dos [math]2's pues [math]4=2+2 y [math]4=2 \cdot 2.
Notar que es mas eficiente considerar [math]3's que [math]2's pues [math]3+3=2+2+2 y [math]3^2=9>8=2^3.
Finalmente notar que [math]1976=3 \cdot 658 +2 asi el mayor producto es [math]2 \cdot 3^{658}.

[iMPuRe]

a resuletos porfa y mover a nivel mayor

[Diego Navarro]

Dare una segunda demostracion
[math]Por\ media\ aritmetica,\ media \ geometrica \ sabemos \ que
[math]\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} siendo x,y los numeros buscados
[math]\frac{1976}{2} \ge \sqrt{xy}
Luego
[math]\ 988 \ge \sqrt{xy}
Como se pide que sea el mayor producto posible, lo ideal seria obtener la igualdad
[math]\ 988= \sqrt{xy}
[math]\ xy=976144
Demostrnado lo pedido

[iMPuRe]

no esta correcto. primero qe nada fijate qe al producto qe llegaste es menor qe el mio. por otro lado asumiste qe eran solo 2 numeros. saludos!

[Diego Navarro]

O= no habia cachado qe podian ser mas numeros me pifie feo