Lista de problemas Nº2

[Assassin]

Acá dejo la segunda lista de problemas, por mientras no habrá clases ya que la parte que les queda es sólo resolver problemas, aquí vamos:

Problema 1. Sea [math]ABCD un paralelógramo, y [math]P\ un punto fuera de él, tal que [math]\angle{PDC}=\angle{PBC}. Probar que [math]\angle{CPB}=\angle{DPA}.

Problema 2. Pruebe que todos los números de la forma 12008, 120308, 1203308, ... son divisibles por 19.

Problema 3. Encuentre todos los enteros positivos [math]a, [math]b tales que,

[math]\displaystyle{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=2}

Problema 4. Determine si existen funciones inyectivas [math]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} con la propiedad de que [math](\forall x\in\mathbb{R}) f(x^2)-f^2(x)\geq \displaystyle{\frac{1}{4}}.

Problema 5. Los puntos [math]D y [math]E se encuentran en los lados [math]BC y [math]AC, respectivemante, del triángulo [math]ABC, cumpliendo que [math]BD=AE. La línea que une los circuncentros de los triángulos [math]ADC y [math]BEC intersecta a los segmentos [math]AC y [math]BC en [math]K y [math]L respectivamente. Demuestre que [math]KC=LC.

Problema 6. En un regimiento de 169 reclutas cada día 4 de ellos hacen guardia. ¿Es posible que después de un tiempo, cada par de soldados hayan hecho guardia juntos exactamente una vez?

[Gergajar]

Problema 3:
[math]\left(1+\displaystyle\frac{1}{a}\right)\left(1+\displaystyle\frac{1}{b}\right) = 2

[math]\left(\displaystyle\frac{(a+1)(b+1)}{ab}\right) = 2
[math]b+1 = a(b-1)
Consideranado que [math]a y [math]b son enteros, en pocas ocasiones se da que un entero [math]x multiplicado por otro [math]y resulta el sucesor en paridad de [math]x.
Así , probando para el primer valor entero positivo de b, la igualdad no se cumple ya que [math]b-1= 0 y [math]b+1> 0
Para [math]b=2, b-1 =1 y [math]b+1 = 3, \Rightarrow a= 3
Para [math]b=3, b-1 =2 y [math]b+1 =4, \Rightarrow a= 2
Para [math]b=4, b-1 =3 y [math]b+1 =5, no se cumple la condicion de aquí en adelante...
[math]\displaystyle\therefore las únicas soluciones enteras positivas son [math]a= 3, 2 y [math]b= 2, 3

[Assassin]

Problema 3:
[math]\left(1+\displaystyle\frac{1}{a}\right)\left(1+\displaystyle\frac{1}{b}\right) = 2

[math]\left(\displaystyle\frac{(a+1)(b+1)}{ab}\right) = 2
[math]b+1 = a(b-1)
Consideranado que [math]a y [math]b son enteros, en pocas ocasiones se da que un entero [math]x multiplicado por otro [math]y resulta el sucesor en paridad de [math]x.
Así , probando para el primer valor entero positivo de b, la igualdad no se cumple ya que [math]b-1= 0 y [math]b+1> 0
[math]Para b=2, b-1 =1 y b+1 = 3, \rightarrow a= 3
[math]Para b=3, b-1 =2 y b+1 =4, \rightarrow a= 2
[math]Para b=4, b-1 =3 y b+1 =5, no se cumple la condicion de aquí en adelante...
[math]\displaystyle\therefore las únicas soluciones enteras positivas son [math]a= 3, 2 y [math]b= 2, 3

Efectivamente esas son las soluciones, pero te recomiendo verlo de una manera más formal, es decir, buscando una factorización para luego evaluar sistemas de ecuaciones.

[Gergajar]

Jajaj , como diría Matthies: " Solución yo sé poquito " xDD

[Gergajar]

Problema 3 (2.0)

[math]\left( 1+ \displaystyle\frac{1}{a}\right)\left(1+\displaystyle\frac{1}{b}\right)= 2
[math]ab-a-b=1
[math]a(b-1)-b+1-1=1
[math]a(b-1)-(b-1)=2
[math](a-1)(b-1)=2
Como 2 es primo, existen 2 posibilidades:
[math]1. a-1= 2 y b-1= 1
[math]2. a-1= 1 y b-1= 2
De donde se obtienen los resultados para [math]a=3,2/ b=2,3
*No considero las multiplicaciones [math]-2*-1 y -1*-2 ya que no se cumplen las condiciones de enteros positivos.

[Assassin]

Problema 3 (2.0)

[math]\left( 1+ \displaystyle\frac{1}{a}\right)\left(1+\displaystyle\frac{1}{b}\right)= 2
[math]ab-a-b=1
[math]a(b-1)-b+1-1=1
[math]a(b-1)-(b-1)=2
[math](a-1)(b-1)=2
Como 2 es primo, existen 2 posibilidades:
[math]1. a-1= 2 y b-1= 1
[math]2. a-1= 1 y b-1= 2
De donde se obtienen los resultados para [math]a=3,2/ b=2,3
*No considero las multiplicaciones [math]-2*-1 y -1*-2 ya que no se cumplen las condiciones de enteros positivos.

Ahora sí la solución esta perfect, sólo para mejorar la notación conviene anotar que las soluciones [math](a,b) son los pares [math](2,3) y [math](3,2).

[Gergajar]

Problema 2:
Pruebe que todos los números de la forma 12008, 120308, 1203308, ... son divisibles por 19.

Se tiene que para el primer número:
I.- [math]12008\equiv 0(mod\ 19) ya que [math]19*632=12008
Luego lo que se adiciona a [math]12008 al agregar un 3 en medio es: [math]120308-12008= 108300. Y lo que se adiciona a [math]120308 al agregar otro 3 es: [math]1203308-120308=1083000 es decir, una cantidad 10 veces mayor que la anterior.
Pero [math]1803\equiv 0(mod\ 19) ( ya que es 19*57) y por ende :
II.- [math]1083a\equiv0(mod\ 19) para cualquier a [math]\in\mathbb{N} pero en este caso, [math]a=10^n
Finalmente : [math]I+II \equiv 0 (mod\ 19) demostrando lo pedido

[Buster]

Creo que no leíste los puntos suspensivos.

Con inducción puedes terminar la demostración como ibas.

[Gergajar]

El valor de a puede ser desde 0 hasta infinito.
EDIT:
Los siguientes números se construyen de forma similar, solo modificando el valor de [math]a= 10^k por [math]10^{k+1}

[SoyUnSerInerte]

Problema 4

Si [math]x=0, entonces [math]4f(0)-4f(0)^2\ge 1, de donde [math]0\ge (2f(0)-1)^2, que al ser un cuadrado, no puede ser negativo, luego ocurre la igualdad, de donde obtenemos que [math]f(0)=\frac{1}{2}. De forma análoga, con [math]x=1 obtenemos [math]f(1)=\frac{1}{2}, por lo tanto [math]f(0)=f(1), luego [math]f no es inyectiva.

[Buster]

Correcto, salvo por el detalle de que nunca contradijiste nada. Sólo demostraste que la propiedad hace que la función no sea inyectiva.

[CarmenMijares]

Que genial, me encanta mucho que podamos solventar este problema es genial todo esto porque es posible que nosotros nos encanta compartir. En la última mudanza perdí muchas cosas.