Lista de problemas Nº2

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Lista de problemas Nº2

Mensajepor Assassin » 13 Sep 2011, 13:36

Acá dejo la segunda lista de problemas, por mientras no habrá clases ya que la parte que les queda es sólo resolver problemas, aquí vamos:

Problema 1. Sea [math] un paralelógramo, y [math] un punto fuera de él, tal que [math]. Probar que [math].

Problema 2. Pruebe que todos los números de la forma 12008, 120308, 1203308, ... son divisibles por 19.

Problema 3. Encuentre todos los enteros positivos [math], [math] tales que,
[math]

Problema 4. Determine si existen funciones inyectivas [math] con la propiedad de que [math].

Problema 5. Los puntos [math] y [math] se encuentran en los lados [math] y [math], respectivemante, del triángulo [math], cumpliendo que [math]. La línea que une los circuncentros de los triángulos [math] y [math] intersecta a los segmentos [math] y [math] en [math] y [math] respectivamente. Demuestre que [math].

Problema 6. En un regimiento de 169 reclutas cada día 4 de ellos hacen guardia. ¿Es posible que después de un tiempo, cada par de soldados hayan hecho guardia juntos exactamente una vez?

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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor Gergajar » 14 Sep 2011, 14:24

Problema 3:
[math]

[math]
[math]
Consideranado que [math] y [math] son enteros, en pocas ocasiones se da que un entero [math] multiplicado por otro [math] resulta el sucesor en paridad de [math].
Así , probando para el primer valor entero positivo de b, la igualdad no se cumple ya que [math] y [math]
Para [math] y [math]
Para [math] y [math]
Para [math] y [math], no se cumple la condicion de aquí en adelante...
[math] las únicas soluciones enteras positivas son [math] y [math]

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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor Assassin » 14 Sep 2011, 14:54

mancho_007 escribió:Problema 3:
[math]

[math]
[math]
Consideranado que [math] y [math] son enteros, en pocas ocasiones se da que un entero [math] multiplicado por otro [math] resulta el sucesor en paridad de [math].
Así , probando para el primer valor entero positivo de b, la igualdad no se cumple ya que [math] y [math]
[math]
[math]
[math], no se cumple la condicion de aquí en adelante...
[math] las únicas soluciones enteras positivas son [math] y [math]


Efectivamente esas son las soluciones, pero te recomiendo verlo de una manera más formal, es decir, buscando una factorización para luego evaluar sistemas de ecuaciones.

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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor Gergajar » 14 Sep 2011, 15:11

Jajaj , como diría Matthies: " Solución yo sé poquito " xDD

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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor Gergajar » 14 Sep 2011, 15:43

Problema 3 (2.0)

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Como 2 es primo, existen 2 posibilidades:
[math]
[math]
De donde se obtienen los resultados para [math]
*No considero las multiplicaciones [math] ya que no se cumplen las condiciones de enteros positivos.

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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor Assassin » 14 Sep 2011, 23:55

mancho_007 escribió:Problema 3 (2.0)

[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Como 2 es primo, existen 2 posibilidades:
[math]
[math]
De donde se obtienen los resultados para [math]
*No considero las multiplicaciones [math] ya que no se cumplen las condiciones de enteros positivos.


Ahora sí la solución esta perfect, sólo para mejorar la notación conviene anotar que las soluciones [math] son los pares [math] y [math].

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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor Gergajar » 04 Oct 2011, 00:06

Problema 2:
Pruebe que todos los números de la forma 12008, 120308, 1203308, ... son divisibles por 19.

Se tiene que para el primer número:
I.- [math] ya que [math]
Luego lo que se adiciona a [math] al agregar un 3 en medio es: [math]. Y lo que se adiciona a [math] al agregar otro 3 es: [math] es decir, una cantidad 10 veces mayor que la anterior.
Pero [math] ( ya que es 19*57) y por ende :
II.- [math] para cualquier a [math] pero en este caso, [math]
Finalmente : [math] demostrando lo pedido

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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor Buster » 04 Oct 2011, 22:33

Creo que no leíste los puntos suspensivos.

Con inducción puedes terminar la demostración como ibas.
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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor Gergajar » 04 Oct 2011, 23:46

El valor de a puede ser desde 0 hasta infinito.
EDIT:
Los siguientes números se construyen de forma similar, solo modificando el valor de [math] por [math]

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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor SoyUnSerInerte » 29 Jun 2013, 02:45

Problema 4

Si [math], entonces [math], de donde [math], que al ser un cuadrado, no puede ser negativo, luego ocurre la igualdad, de donde obtenemos que [math]. De forma análoga, con [math] obtenemos [math], por lo tanto [math], luego [math] no es inyectiva.
Última edición por SoyUnSerInerte el 30 Jun 2013, 02:14, editado 1 vez en total.

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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor Buster » 29 Jun 2013, 13:19

Correcto, salvo por el detalle de que nunca contradijiste nada. Sólo demostraste que la propiedad hace que la función no sea inyectiva.
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Re: Lista de problemas Nº2

Mensajepor CarmenMijares » 03 Dic 2019, 16:29

Que genial, me encanta mucho que podamos solventar este problema es genial todo esto porque es posible que nosotros nos encanta compartir. En la última mudanza perdí muchas cosas.


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