Lista de problemas Nº3

[Assassin]

Problema 1. Demostrar que si los números positivos [math]a, [math]b, [math]c forman una progresión aritmética, los números

[math]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, [math]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, [math]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

también forman una progresión aritmética.

Problema 2. Encuentre todas las soluciones enteras de la ecuación [math]x^4+131=3y^4.

Problema 3. Sea [math]ABCD un paralelógramo. La bisectriz del [math]\angle{BAD} corta a [math]BC en [math]M y a la prolongación de [math]CD en [math]N. Si [math]O es el circuncentro del triángulo [math]MCN, muestre que [math]B, [math]O, [math]C, [math]D son concíclicos.

Problema 4. Sean [math]a, [math]b, [math]c reales positivos tales que [math]abc=1. Muestre que

[math]\displaystyle{\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3}

Problema 5. Determine todos los pares de enteros no negativos [math](x,y) para los cuales

[math](xy-7)^2=x^2+y^2

Problema 6. Un juego es disputado por dos jugadores sobre un plano infinito que contiene 51 piezas, siendo 50 ovejas y 1 lobo. El primero jugador inicia el juego moviendo el lobo. En seguida, el segundo jugador mueve alguna oveja, y así sucesivamente. En cada movimiento, una pieza se puede mover a una distancia de un metro . ¿Es verdad que , independiente de la posición inicial de las piezas, el lobo siempre consigue capturar al menos una oveja?

[Gergajar]

Problema 4:

[math]\displaystyle{\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3}
EN RECONSTRUCCIÓN POR EL SISMO

[Buster]

Si quieres probar [math]A\ge B y demuestras que [math]A\ge C y [math]B\ge C está malo, tendría que ser [math]A\ge C y [math]C\ge B.