Lista de problemas Nº4

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Assassin
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Lista de problemas Nº4

Mensajepor Assassin » 15 Sep 2011, 18:15

Problema 1. Sea [math] un entero no negativo. Pruebe que los números [math] y [math] no pueden ser ambos cubos perfectos.

Problema 2. Las circunferencias [math] y [math] se intersectan en los puntos [math] y [math]. Por el punto [math] se traza una recta que corta a las circunferencias [math] y [math] en [math] y [math] respectivamente. Por los puntos [math] y [math] se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se intersectan en el punto [math]. Demuestre que el cuadrilátero [math] es cíclico.

Problema 3. Sea [math]. Pruebe que siempre se pueden elegir [math] enteros entre cualquiera [math] enteros, de tal forma tal que su suma sea divisible por [math].

Problema 4. En un [math] la bisectriz del ángulo en [math] intersecta a [math] en [math]. La perpendicular a [math] que pasa por [math], intersecta a [math] en [math]. El segmento que pasa por [math] paralelo a [math] intersecta a [math] en [math] y a [math] en [math]. Si [math], [math] y [math], ¿cuánto mide [math]?

Problema 5. Pruebe que [math]
[math]

Problema 6. Los enteros positivos son particionados en algunos conjuntos [math], tales que, para [math], si [math], entonces [math]. ¿Cuál es el mínimo valor de [math]?

Jumbito
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Re: Lista de problemas Nº4

Mensajepor Jumbito » 19 Sep 2011, 13:16

En el problema 3 es un caso particular de Erdös-Ginzburg-Zif, no es necesario que n sea potencia de 2, puede ser cualquiera. De todas formas no es facil demostrarlo
EDICION: Que onda el p4? xd
Felipe Arbulú

Jumbito
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Re: Lista de problemas Nº4

Mensajepor Jumbito » 02 Ene 2015, 17:01

Problema 6

La respuesta es n=2. Es claro que [math] por lo tanto bastará que podemos particionar el conjunto de los enteros positivos en dos conjuntos A y B como en el enunciado. Si m es un entero positivo cualquiera, siempre podemos escribir de forma única [math], en donde [math] es la potencia de dos más grande que divide a m. Escribir los enteros positivos de esta forma define las sucesiones [math]. Sean [math]. Estos son los conjuntos que buscábamos, como puede verificar el atento lector.


PS. Es idea mía o el latex anda medio mal?
Felipe Arbulú


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