Prueba de Selección Equipo Francés IMO 2005

[Luffy]

PRUEBA DE SELECCIÓN EQUIPO FRANCÉS IMO
2005

Problema 1: Sean [math]x, [math]y dos enteros positivos tales que [math]3x^2+x=4y^2+y. Pruebe que [math]x-y es un cuadrado perfecto.

Solución: (Pendiente)

Problema 2: Se dan dos triángulos rectos, tales que el incírculo del primero es igual al cicuncírculo del segundo. Sean [math]S y [math]S' las áreas del primer y segundo triángulo respectivamente.

Pruebe que [math]\dfrac{S}{S'}\ge 3+2\sqrt{2}.

Solución: (Pendiente)

Problema 3: En un encuentro internacional de [math]n\ge 3 participantes, se hablan [math]14 idiomas distintos. Nosotros sabemos que:

- Cualesquiera 3 participantes hablan al menos un idioma en común.
- Ningún idoma es hablado por más de la mitad de los participantes.

¿Cuál es el menor valor de [math]n?

Solución: (Pendiente)

Problema 4: Sea [math]X un subconjunto no vacío de [math]\mathbb{N}. Suuponga que para todo [math]x\in X, [math]4x\in X y [math]\lfloor \sqrt{x}\rfloor \in X. Pruebe que [math]X=\mathbb{N}.

Solución: (Pendiente)

Problema 5: Sea [math]BC un triángulo tal que [math]BC=AC+\dfrac{1}{2}AB. Sea [math]P un punto de [math]AB tal que [math]AP=3PB. Pruebe que [math]\angle PAC=2\angle CPA.

Solución: (Pendiente)

Problema 6: Sea [math]P un polinomio de grado [math]n\ge 5 con coeficientes enteros dados por:
[math]P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0 con [math]a_i\in \mathbb{Z}, [math]a_n\neq 0.
Suponga que [math]P tiene [math]n raices enteras distintas: [math]0,\alpha _2,...,\alpha _n. Encuentre todos los enteros [math]k tales que [math]P(P(k))=0.

Solución: (Pendiente)

[sebagarage]

Revisa el problema 4 porque no se cumple la afirmación.

[Luffy]

Revisa el problema 4 porque no se cumple la afirmación.

ahi si, gracias por la acotación

[makmat]

Ver el siguiente link: http://www.fmat.cl/index.php?s=&showtop ... t&p=474906

Hay una solucion mucho mas simple, que fue la que hice en la prueba.

Saludos.