Problema Nº 5

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elnumerodeoro
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Problema Nº 5

Mensajepor elnumerodeoro » 01 Ago 2013, 11:33

Se dibujan 98 puntos sobre una circunferencia y se plantea el siguiente juego:
Edgardo y Felipe juegan alternadamente, de modo que - en su turno - cada uno dibuja un trazo uniendo dos de los puntos que no hayan sido unidos en turnos anteriores. El juego termina cuando todos los puntos sean extremo de al menos un trazo. Gana el jugador que dibuje el último trazo.
Se supone que cada jugador hará siempre la mejor jugada.
¿Se puede asegurar que el jugador que comienza será el ganador?

jouhui
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Re: Problema Nº 5

Mensajepor jouhui » 01 Ago 2013, 23:25

Llamaremos [math] y [math] a los dos jugadores.
Para ganar en este juego, es necesario trazar las líneas de tal forma que finalmente queden solo 3 puntos sin unir, y que ya no exista ninguna línea sin trazar entre los otros puntos. Entonces, el otro jugador ([math]) estará obligado a trazar una línea utilizando uno o dos puntos de los tres restantes. Y finalmente, el jugador ([math]) podrá trazar la última línea , uniendo los puntos restantes, ganando el juego.
Por lo tanto, en un juego con [math] puntos, ambos jugadores intentan dejar los últimos tres para el otro, vale decir, trazar todas las líneas posibles entre [math] puntos.
Esto significa seleccionar 2 puntos de los 95 posibles, ya que cada 2 puntos dan origen a una línea distinta:

[math]


El producto entre dos números impares también es impar, por lo tanto, entre [math] puntos se pueden dibujar un número impar de trazos, es decir, el que traza la primera línea ([math]), también lo hace con el último. Después de esto, solo quedan tres puntos sin unir, por lo que [math] no tiene otra forma que:
1)Trazar una línea entre dos puntos de los tres restantes, entonces [math] trazará una línea entre el último punto y otro cualquiera.
2) Trazar una línea entre uno de los tres puntos restantes con otro de los [math] ya mencionados, entonces [math] trazará una línea uniendo los dos puntos que quedan.

En ambos casos, [math] es el ganador. Por esto, sí podemos asegurar que el primer jugador es el que gana en este juego.

Niklaash
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Re: Problema Nº 5

Mensajepor Niklaash » 02 Ago 2013, 00:27

Solucion:

Si se enumeran los vertices segun el orden que vayan siendo usados, y analizamos el final del juego, nos damos cuenta que el jugador que llega al vertice nº [math] es el ganador, ya que el que sigue a lo mas puede llegar al vertice [math], de lo cual es directo que gana el que llego al [math].

Realizando un procedimiento analogo, basta ver que el jugador que llega a [math] es el ganador, ya que el que sigue a lo mas puede llegar al vertice [math].

[math] el que tiene la estregia ganadora pasa por la siguiente sucesion de vertices: [math], lo cual le corresponde al Jugador que comienza.

elnumerodeoro
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Re: Problema Nº 5

Mensajepor elnumerodeoro » 05 Ago 2013, 12:25

Problema cerrado. Se evaluará las soluciones de Jou-Hui y de Niklaash.


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