i) Notemos que por la fórmula de recursión del coeficiente binomial tenemos
[center][tex]\binom nk -2\binom{n-1}{k-1}=\binom{n-1}{k}-\binom{n-1}{k-1}[/tex][/center]
Por lo tanto, tenemos que
[center][tex]n\left[\binom{n-1}{k}-\binom{n-1}{k-1}\right]=n\left[\binom nk -2\binom{n-1}{k-1}\right]=n\binom{n}{k}-2n\binom{n-1}{k-1}[/tex][/center]
Así, basta con demostrar que [tex]n\binom{n-1}{k-1}=k\binom nk[/tex] lo cual es trivial expandiendo ambos lados.
ii) Notemos que basta con demostrar que si [tex]0\leq k<\lfloor n/2\rfloor[/tex] entonces
[center][tex]\frac{n!}{(n-k)!k!}<\frac{n!}{(n-k-1)!(k+1)!}[/tex][/center]
Cancelando términos semejantes a ambos lados obtenemos que es equivalente a demostrar que [tex]k+1<n-k\Longleftrightarrow k<(n-1)/2[/tex]. Pero esto es obvio; ya que si [tex]n[/tex] es impar tenemos que
[center][tex]\lfloor\frac n2\rfloor = \frac{n-1}2[/tex][/center]
en cuyo caso se sigue de la hipotesis; y si [tex]n[/tex] es impar
[center][tex]\frac{n-1}2=\lfloor \frac n2\rfloor - \frac 12[/tex][/center]
Pero ya que [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], tenemos que [tex]k<\lfloor n/2\rfloor[/tex] es equivalente a decir [tex]k\leq\lfloor n/2\rfloor-1 <\lfloor n/2\rfloor-1/2[/tex]
