i) Notemos que por la fórmula de recursión del coeficiente binomial tenemos
\binom nk -2\binom{n-1}{k-1}=\binom{n-1}{k}-\binom{n-1}{k-1}
Por lo tanto, tenemos que
n\left[\binom{n-1}{k}-\binom{n-1}{k-1}\right]=n\left[\binom nk -2\binom{n-1}{k-1}\right]=n\binom{n}{k}-2n\binom{n-1}{k-1}
Así, basta con demostrar que
n \binom{n-1}{k-1}=k\binom nk lo cual es trivial expandiendo ambos lados.
ii) Notemos que basta con demostrar que si
0\leq k<\lfloor n/2\rfloor entonces
\frac{n!}{(n-k)!k!}<\frac{n!}{(n-k-1)!(k+1)!}
Cancelando términos semejantes a ambos lados obtenemos que es equivalente a demostrar que
k+1<n-k\Longleftrightarrow k<(n-1)/2. Pero esto es obvio; ya que si
n es impar tenemos que
\lfloor\frac n2\rfloor = \frac{n-1}2
en cuyo caso se sigue de la hipotesis; y si
n es impar
\frac{n-1}2=\lfloor \frac n2\rfloor - \frac 12
Pero ya que
k\in\mathbb{Z}, tenemos que
k<\lfloor n/2\rfloor es equivalente a decir
k\leq\lfloor n/2\rfloor-1 <\lfloor n/2\rfloor-1/2
