tomas_rodriguez_12
\text{Llamemos }M \text{ al punto medio de }\overline{BC}, N\text{ al punto medio de }\overline{AC}\text{ y }D \text{ la intersección de }\overline{MO}\text{ con }\overline{AB}.\\\text{También llamemos }\alpha, \beta\text{ y }\gamma\text{ a los ángulos }\angle OAB, \angle HAO\text{ y }\angle ABC,\text{ respectivamente}.\text{ Si llamamos}\\
E\text{ a la intersección de }\overline{AH}\text{ con }\overline{BC},\text{ entonces por triángulo }\triangle BEA\text{ tenemos que }\alpha+\beta+\gamma=90°.\\\text{Como }\overline{AH}\text{ y }\overline{DM}\text{ son perpendiculares a }\overline{BC},\text{ entonces }\overline{AH} || \overline{DM},\text{ por lo tanto, }\\ \angle DOA = \angle HAO =\beta.\text{ Por triángulo isósceles }\triangle OAB, \angle ABO = \alpha,\text{ entonces }\angle OBC = \gamma-\alpha =\\ \angle BCO \because\triangle COB\text{ es isósceles}.\text{ Como }\angle BCO+\angle COM = 90°\Rightarrow \angle COM = \beta +2\alpha.\\
\text{Por segmento }\overline{DM},\text{ tenemos que }\angle COM + \angle AOC + \angle DOA = 180°\Rightarrow \angle AOC = 2\gamma.\text{ Como }\overline{ON}\\\text{es altura de un triángulo isosceles, entonces }\overline{ON}\text{ es bisectriz del ángulo }\angle AOC,\text{ por lo tanto, }\\
\angle AON=\gamma.\text{ Como }\angle NAO+\angle AON = 90°, \Rightarrow \angle NAH = \alpha.\text{ Nos queda que }\angle CAO = \alpha+\beta = \angle BAH.\\
\text{Demostrando lo pedido.}
