Buster
\mathcal{P} 1. En una escuela hay 10 salas de clases. Cada estudiante en una sala conoce exactamente a un estudiante en cada una de las otras 9 salas (asuma que si un estudiante A conoce a un estudiante B, entonces el
estudiante B conoce al estudiante A también). Pruebe que el númmero de estudiantes en cada sala de clases es el mismo.
\mathcal{P}2. Sea un \triangle{ABC} y un punto P situado en \overline{AB}, distinto de A y de B. Encuentre un punto Q en \overline{BC} de
modo que el ́área del \triangle{PBQ} sea igual a un tercio del ́área del \triangle{ABC}. Además, determine las condiciones de existencia de Q.
\mathcal{P}3. Considere dos ńúmeros naturales a y b tales que la suma
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}
sea el inverso multiplicativo de un númmero natural n. Pruebe que:
a) a^2+b^2 no es primo.
b) Para todo n número natural existen a y b tales que cumplen la condición del enunciado.
c) Si n es primo, encuentre los posibles valores de a y b.
sebagarage
\mathcal{P} 1. Notemos que basta probar el resultado para 2 salas de clases cualesquiera (pues entonces se aplica a todas). En virtud de esto, fijemos dos salas que denotaremos X e Y respectivamente. Demostremos el resultado por contradicción, esto es, supongamos que el número de estudiantes en la sala X es mayor que en la sala Y (el caso en que hay más estudiantes en la sala Y es análogo). Como cualquier estudiante en X conoce exactamente a un estudiante en la sala Y, entonces, dado que el número de estudiantes en X es mayor que en Y (por nuestra suposición), necesariamente deben existir 2 estudiantes en X, que denotaremos A y B, que conocen a un mismo estudiante en Y, que denotaremos por C. Pero entonces C conoce a A y a B, es decir, conoce a dos estudiantes en X, lo que es una contradicción. Sigue que el número de estudiantes en X y en Y es el mismo, que es lo que se quería probar.
sebagarage
\mathcal{P}2
Sea AB=c y BC=a. Luego se puede escribir BP=\lambda c, con 0<\lambda<1; y BQ=\alpha a, con 0<\alpha<1. Como la altura del \triangle ABC desde el vértice C es igual a la del \triangle PBC, se tiene que la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases, esto es, igual a \displaystyle\frac{1}{\lambda}. Análogamente, la razón entre las áreas de los \triangle PBC y \triangle PBQ es \displaystyle\frac{1}{\alpha}. Denotando por (XYZ) el área del \triangle XYZ, se tiene que 3=\displaystyle\frac{(ABC)}{(PBQ)}=\displaystyle\frac{(ABC)}{(PBC)}\cdot\displaystyle\frac{(PBC)}{(PBQ)}=\displaystyle\frac{1}{\lambda\alpha}, y por lo tanto, 3\lambda\alpha=1. Entonces reemplazando queda BQ=\displaystyle\frac{a}{3\lambda}, y como BQ\le BC \Rightarrow \displaystyle\frac{a}{3\lambda}\leq a \Rightarrow \lambda\ge \displaystyle\frac{1}{3}. Esta última condición determina la existencia del punto Q.
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\mathcal{P}3. a) Como \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}=\displaystyle\frac{1}{n} entonces ab=n(a+b).
Escribimos a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a+b)^2-2n(a+b)=(a+b)(a+b-2n).
Claramente a+b>1 pues a y b son naturales. Además, si a=b=1 no se satisface ab=n(a+b). Por tanto podemos considerar a>1 (pues las condiciones son simétricas en a y b), y entonces a^2>a, por lo que a^2+b^2>a+b (pues no hay natural que cumpla b>b^2). Entonces tenemos que 1<a+b<a^2+b^2, por lo que a+b es un divisor positivo de a^2+b^2 (distinto de 1 y de a^2+b^2), esto es, a^2+b^2 no es primo.
b) Basta escoger a=b=2n, y entonces \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{2}{2n}=\frac{1}{n}
c) Como ab=n(a+b) y n es primo, entonces n|a (n divide a a) ó n|b. Si n|a se tiene a=nk (para algún k número natural) y entonces la igualdad ab=n(a+b) queda kb=a+b de donde a=b(k-1). Luego nk=b(k-1) de donde (k-1)|nk. Como n es primo, y k-1 con k son coprimos (*) se tiene que k-1=1 ó k-1=n. En el primer caso a=b=2n y en el segundo a=n(n+1) y b=n+1. Por simetría en las condiciones las soluciones faltantes son a=n+1 y b=n(n+1).
(*) Dos números consecutivos son siempre coprimos, pues dada la igualdad k-(k-1)=1 se tiene que no pueden contener otro factor positivo distinto de 1.
