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21ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS
Prueba de Clasificación, Nivel Menor (22/08/09)
Primera Prueba (Tiempo: 2 Horas)
Problema 1. Calcule todas las soluciones m,n de números enteros que satisfacen la ecuación:
mn^2= 2009(n+1)
Problema 2. Se corta un cubo de lado a por un plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que están en diferentes caras. Determine la figura plana que aparece en el corte (la sección) y calcule su área.
Problema 3. En una mesa hay 2009 fichas. El jugador A retira cualquier número de fichas entre 1 y 1004 fichas. A continuación el jugador B retira un número no nulo de fichas no mayor a la mitad del número de fichas dejadas por A. Continuan de ese modo por turno, retirando cualquier número no nulo de fichas que no supere la mitad de las fichas restantes en ese momento. Pierde el jugador que se queda con la última ficha y no puede, por lo tanto, cumplir con la regla. Determine cual de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.
Segunda Prueba (Tiempo: 2 Horas)
Problema 4. Considere un paralelógramo W de vértices A,B,C,D y sean P,Q,R,S los puntos medios de los lados AB, BC,CD y DA respectivamente. Uniendo los puntos A con R, P con C, B con S y Q con D se forma un paralelógramo K. Calcule la razón:
\dfrac{{{\text{área }}W}}
{{{\text{área }}K}}
Problema 5. Encuentre todas las soluciones en los números reales del sistema:
x^2+y^2+z^2+w^2=4t-4
t^2+x^2+y^2+z^2=4w-4
w^2+t^2+x^2+y^2=4z-4
z^2+w^2+t^2+x^2=4y-4
y^2+z^2+w^2+t^2=4x-4
Problema 6. A una reunión de la ONU asistirán 10 representantes de América, 10 de África y 10 de Asia. Los participantes deberán sentarse en torno a una mesa redonda y, al iniciarse la discusión, se les solicitará pònerse en pie a aquéllos cuyos vecinos vienen del mismo continente. Por ejemplo, si un africano se hallare sentado entre dos asiáticos, entonces deberá levantarse.
Los participantes han decidido sentarse de manera coordinada de modo que, al solicitárseles ponerse de pie, lo haga el mayor número posible. ¿Cuál es dicho número? Justifique su respuesta.
