sebagarage
21ª OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS
Prueba de Clasificación, Nivel Mayor (22/08/09)
Primera Prueba (Tiempo: 2 Horas)
Problema 1. Calcule todas las soluciones m, n de números enteros que satisfacen la ecuación:
mn^2= 2009(n+1)
Problema 2. Se corta un cubo de lado a por un plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que están en diferentes caras. Determine la figura plana que aparece en el corte (la sección) y calcule su área.
Problema 3. Demuestre que
\frac{x}{{1 + x^2 }} + \frac{y}{{1 + x^2 + y^2 }} n. Determine si la parte entera del número
\frac{{2^m - 1}}{{2^n - 1}}
es par o impar.
Recuerde que la parte entera de un número real es el mayor entero que es menor o igual a dicho número.
elgik
No sé mucha teoría de números, de hecho, casi nada, asi que si me equivoco en el análisis del P1, no me peguen :
Notemos gue por un simple tema de paridad n debe ser impar y m par. Ahora bien, 2009=49*41, entonces, la ecuación en cuestión podemos escribirla como mn^2=41\cdot 49 (n+1), entonces, es fácil ver que en la expresión de la derecha tenemos dos cuadrados en su descomposición prima: 49 y 1. Dado lo anterior, como la expresión de la izquierda es un cuadrado perfecto, necesariamente estos deben ser iguales. Ahora analizamos casos:
(1){n^2} = 49 \Rightarrow n = \pm 7
n=7, entonces m=328
n=-7, entonces m=-246
(2){n^2} = 1 \Rightarrow n = \pm 1
n=1 entonces m=4018
n=-1, entonces m=0
Luego, n^2 no puede ser igual a 41 pues no es cuadrado, ni tampoco puede ser igual a n+1, pues eso implica que m=2009, lo cual sería absurdo, pues m debe ser par.
Saludos :
