[tex]\mathcal{P}1[/tex]. Alrededor de un círculo hay escritos 4 unos y 5 ceros en un orden desconocido. Un juego consiste en escribir entre dos números iguales un uno y entre dos números distintos un cero, y luego borrar los números que estaban escritos al principio. ¿Es posible jugando varias veces lograr que los 9 números sean unos?
[tex]\mathcal{P}2[/tex]. Sea una circunferencia de radio [tex]2[/tex] y ocho puntos equiespaciados sobre ella, los cuales designaremos por [tex]A, B, C, D, E, F, G, H[/tex]. Sea [tex]X[/tex] un punto sobre la circunferencia distinto de los anteriores. Calcule el valor de [tex]XA^2+XB^2+XC^2+XD^2+XE^2+XF^2+XG^2+XH^2[/tex]
[tex]\mathcal{P}3[/tex]. En un descabellado concurso, a cada miembro de un equipo de [tex]10[/tex] jugadores se le tapan los ojos y se le coloca un gorro de lana que puede ser de color rojo o azul. Al destaparle los ojos a todos, cada uno puede ver el color de los gorros de sus compañeros, pero no el color de su propio gorro. Ningún tipo de comunicación es permitida entre el equipo (ni siquiera gestos). A cierta señal, uno por uno deben decir cuál creen que es el color de su gorro (los organizadores deciden el orden en que adivinan). Después que todos hayan terminado, aquellos que no hayan adivinado serán ejecutados, pero todos aquellos que si lo hayan hecho serán premiados con diez millones de pesos. (Las reglas del concurso deben cumplirse, pues sino todos serán ejecutados)
Antes de participar en este concurso, un equipo de matemáticos elabora una estrategia (esto es, una serie de reglas, no necesariamente las mismas para cada jugador, diciéndole a cada uno qué color escoger basado en la información que tiene) que garantiza la mayor cantidad de sobrevivientes que es posible.
Sin embargo, los organizadores del concurso han espiado la estrategia del equipo (sin que éstos sepan), y por tanto distribuirán los gorros de forma de perjudicarlos lo más posible (para así no perder tanto dinero). ¿Cuántos jugadores se salvarán?
Escriban sus soluciones!!
