Segunda Fecha 2009 - Nivel Mayor

sebagarage

[tex]\mathcal{P}1[/tex]. Los enteros [tex]1,2,\ldots,n[/tex] son puestos en orden en una fila de izquierda a derecha, de forma que cada uno o es más grande que todos los anteriores o es más pequeño que todos los anteriores. ¿En cuántas formas puede hacerse?

[tex]\mathcal{P}2[/tex]. Si [tex]n[/tex] es un entero positivo, pruebe que:

a) [tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1} < \sqrt{4n+2}[/tex]

Concluya que [tex]\left\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right\rfloor \le \left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor \le \sqrt{4n+2}[/tex]

b) No existen [tex]x,y[/tex] enteros tales que [tex]x^2=4y+2[/tex]

c) [tex]\left\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right\rfloor=\left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor[/tex]

(Para esta parte, suponga que la igualdad no es cierta, y trate de llegar a una contradicción)

Nota: Para un número real [tex]z[/tex] se define [tex]\left\lfloor z \right\rfloor[/tex] como el mayor entero menor o igual a [tex]z[/tex]. Por ejemplo, [tex]\left\lfloor \pi \right\rfloor=3[/tex] y [tex]\left\lfloor 2009 \right\rfloor=2009[/tex].

[tex]\mathcal{P}3[/tex]. En un descabellado concurso, a cada miembro de un equipo de [tex]10[/tex] jugadores se le tapan los ojos y se le coloca un gorro de lana que puede ser de color rojo o azul. Al destaparle los ojos a todos, cada uno puede ver el color de los gorros de sus compañeros, pero no el color de su propio gorro. Ningún tipo de comunicación es permitida entre el equipo (ni siquiera gestos). A cierta señal, todos los jugadores deben decir al mismo tiempo cuál creen que es el color de su gorro. Todos aquellos que no adivinen serán ejecutados, pero todos aquellos que si lo hagan serán premiados con diez millones de pesos. (Las reglas del concurso deben cumplirse, pues sino todos serán ejecutados)

Antes de participar en este concurso, un equipo de matemáticos elabora una estrategia (esto es, una serie de reglas, no necesariamente las mismas para cada jugador, diciéndole a cada uno qué color escoger basado en lo que ve) que garantiza la mayor cantidad de sobrevivientes que es posible.

Sin embargo, los organizadores del juego han espiado la estrategia del equipo (sin que éstos sepan), y por tanto distribuirán los gorros de forma de perjudicarlos lo más posible (para así no perder tanto dinero). ¿Cuántos jugadores se salvarán?

Escriban sus soluciones!!

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[tex]\mathcal{P}1[/tex]. Notemos que por la condición del enunciado el último número en la fila sólo puede ser [tex]1[/tex] o [tex]n[/tex]. No importa cuál de los dos sea, el penúltimo sólo puede ser el mayor o el menor de los [tex]n-1[/tex] restantes; y así sucesivamente. Por tanto, al seguir la fila de derecha a izquierda, vemos que siempre hay sólo dos opciones a escoger. Como esta elección se hace [tex]n-1[/tex] veces (pues el primer término de la izquierda está determinado por los otros [tex]n-1[/tex]) entonces hay [tex]2^{n-1}[/tex] formas de hacer la fila.

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[tex]\mathcal{P}2[/tex]. a) Elevando al cuadrado la desigualdad se obtiene [tex]2n+1+\sqrt{4n^2+4n} \left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor[/tex], entonces por lo recién probado se tendría que [tex]\sqrt{4n+2} > \left\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right\rfloor > \left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor[/tex], lo cual no es posible pues no hay enteros entre un número y su parte entera. Por tanto [tex]\left\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right\rfloor \le \left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor[/tex].

b) De la ecuación se tiene que [tex]x^2[/tex] es par, por lo que [tex]x[/tex] también lo es. Luego [tex]x[/tex] es de la forma [tex]x=2k[/tex] para algún [tex]k[/tex] entero, y la ecuación queda [tex]4k^2=4y+2[/tex] que es equivalente a [tex]2=4(k^2-y)[/tex], lo que es una contradicción pues [tex]2[/tex] no es múltiplo de [tex]4[/tex]. Por tanto no existen [tex]x,y[/tex] enteros que cumplan.

c)[/b] Llamemos [tex]m=\left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor[/tex] y supongamos que [tex]\left\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right\rfloor \not = m[/tex], entonces también se cumple que [tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1} < m[/tex]. Usando la parte [b]a)[/b] tenemos entonces [tex]\sqrt{n}+\sqrt{n+1} < m\le \sqrt{4n+2}[/tex]. Elevando al cuadrado y reordenando se obtiene [tex]\sqrt{4n^2+4n}<m^2-2n-1\le 2n+1[/tex]. Nuevamente se eleva al cuadrado y se obtiene [tex]4n^2+4n<(m^2-2n-1)^2\le 4n^2+4n+1[/tex], por lo que no queda otra opción más que [tex]m^2-2n-1=2n+1[/tex] que equivale a [tex]m^2=4n+2[/tex] que ya se vio en la parte [b]b) no tiene solución. Luego la igualdad que se deseaba probar es cierta.

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[tex]\mathcal{P}3[/tex]. Primero notemos que no se puede asegurar salvar a más de 5 personas. En efecto, cada miembro no cuenta con más datos que los colores que observa en los demás, que no tienen ninguna relación con el color que él posee. Por tanto, no importando cuál sea su estrategia, sólo depende de su suerte (su probabilidad de acertar es de un [tex]50\%[/tex]). Luego para asegurar que alguien sobreviva, en el mejor de los casos podrían condicionarse las probabilidades de forma que la muerte de unos signifique la sobrevivencia de otros y viceversa. Para garantizar el mayor número de sobrevivientes, este condicionamiento debe ser en una relación de igual cantidad, es decir, (en el mejor de los casos) la muerte de 5 personas debe significar la sobrevivencia de los otros 5 y viceversa (si la relación fuera desigual, entonces podría pasar que sobrevivan menos que 5).

Ahora notemos que hay una estrategia en la que se salvan exactamente 5 personas. En efecto, los 10 miembros pueden separarse en 5 parejas, cada una con la siguiente estrategia: uno de ellos dirá el color que ve en su compañero, y el otro dirá el color que no ve en el primero. De esta forma cuando la pareja tenga el mismo color el primero se salvará, y cuando tengan colores distintos se salvará el segundo.

De acuerdo a la estrategia, no importa que hagan los organizadores del juego, se salvarán sólo 5 personas.