Notemos que [tex]\underbrace{11\dots11}_{n\text{ veces}}=\frac{10^n-1}{9}[/tex]. Sea [tex]d= \left( a,b \right)[/tex], por bezout existen [tex]x,y[/tex] enteros tales que [tex]ax-by=d[/tex]. Sea [tex]k= \left( 10^a-1,10^b-1 \right)[/tex], notar que [tex]10^{by} \left( 10^d-1 \right) = \left( 10^{ax}-1 \right) - \left( 10^{by}-1 \right)[/tex] como claramente [tex]\left( k,10^{by} \right) =1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]k \mid 10^d-1[/tex]. Por otro lado [tex]10^d-1 \mid 10^a-1[/tex] y [tex]10^d-1 \mid 10^b-1[/tex], por bezout [tex]10^d-1 \mid k[/tex]. Asi [tex]k=10^d-1[/tex].
Finalmente notar que [tex]\frac{1}{9} \left( 10^a-1,10^b-1 \right) = \left( \frac{10^a-1}{9},\frac{10^b-1}{9} \right) = \frac{10^d-1}{9}[/tex].
