: Día 1
1-[/b] Un entero positivo [tex]n[/tex] es llamado , si existen enteros positivos[tex]a > b > c[/tex] tales que [tex]n = a + b + c[/tex], y además [tex]a[/tex] es múltiplo de [tex]b[/tex] y [tex]b[/tex] es múltiplo de [tex]c[/tex]. Demuestre que el conjunto de los enteros positivos que [b]no son[/b] representables es [b]finito y determine el mayor elemento de ese conjunto.
2- Sean [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] reales positivos. Determine, en función de [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex], el menor número real [tex]r[/tex] que tiene la siguiente propiedad: Es posible cubrir un rectángulo de lados [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex], con dos discos circulares de radio [tex]r[/tex].
3- Se tiene un tablero de [tex]8 \times 8[/tex] y muchas fi chas de [tex]1 \times 2[/tex] y [tex]1 \times 3[/tex]. Pablo debe colocar sobre el tablero solamente fi chas de [tex]1 \times 2[/tex], sin superponerse, de tal manera que sea imposible colocar una fi cha de [tex]1 \times 3[/tex] sobre las casillas descubiertas del tablero. Cuál es la menor cantidad de fichas de [tex]1 \times 2[/tex] que puede colocar Pablo?
Aclaración: Las fi chas de [tex]1 \times 2[/tex] y [tex]1 \times 3[/tex] pueden estar en posición horizontal o vertical. Cada fi cha de [tex]1 \times 2[/tex] cubre exactamente dos casillas del tablero, y cada fi cha de [tex]1 \times 3[/tex] cubre exactamente tres casillas del tablero.
: Día 2
4- Carlos y Daniel juegan sobre un tablero de [tex]25 \times 80[/tex], que inicialmente tiene todas sus casillas blancas, de la siguiente forma: En su turno cada jugador elige del tablero una región cuadrada formada solamente por casillas blancas y las pinta de negro. Carlos inicia el juego y luego se van alternando los turnos. Si gana el jugador que pinta de color negro la última casilla blanca del tablero, determine si hay una estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores e indíquela.
5- Sea [tex]\triangle ABC[/tex] acutángulo. En los lados [tex]\overline{AC}[/tex] y [tex]\overline{AB}[/tex], se ubican los puntos [tex]M[/tex] y [tex]N[/tex], respectivamente. Sean [tex]P[/tex] el punto de intersección de los segmentos [tex]BM[/tex] y [tex]CN[/tex], y [tex]Q[/tex] un punto en el interior del cuadrilátero [tex]ANPM[/tex] tal que [tex]\angle BQC = 90[/tex] y [tex]\angle BQP = \angle BMQ[/tex].
Si el cuadrilátero [tex]ANPM[/tex] es cíclico, pruebe que [tex]\angle QNC = \angle PQC[/tex].
6- Para cada entero positivo [tex]n[/tex], sea [tex]f(n)[/tex] el menor entero mayor que [tex]n[/tex] para el cual existe un conjunto [tex]M[/tex], formado por enteros positivos, que tiene las siguientes propiedades:
El menor elemento de [tex]M[/tex] es [tex]n[/tex].
El mayor elemento de [tex]M[/tex] es [tex]f(n)[/tex].
El producto de todos los elementos de [tex]M[/tex] es un cuadrado perfecto.
a) Calcule [tex]f(2010)[/tex].
b) Pruebe que existen in fitos enteros positivos [tex]n[/tex] para los cuales [tex]f(n) \le n + \sqrt{2n}[/tex].
