elnumerodeoro
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, isósceles.
Sean D en AC y E en BC, tales que CD = CE.
Las perpendiculares a AE que pasan por D y C intersectan a AB en K y L respectivamente.
Demostrar que KL = LB.
tomas_rodriguez_12
\text{Resolveremos este problema con geometría analítica. Los puntos } A, B \text{ y } C \text{ tendrán las coordenadas } (1,0), (0,-1) \text{ y } (0,0) \text{ respectivamente. Los puntos } D \text{ y } E \text{ serán las coordenadas } (a,0) \text{ y } (0,-a) \text{ respectivamente, siendo } a \text{ un real positivo menor a 1. Con esto podemos calcular las coordenadas de } L \text{ y de } K, \text{ verificando que } L \text{ es punto medio de }\overline{BK} \text{ y entonces } \overline{BL} =\overline{LK}.\text{ La ecuación de }\overleftrightarrow{AB}\text{ es } y=\frac{0-(-1)}{1-0}(x-0)-1=x-1\text{ y la pendiente de }\overleftrightarrow{EA}\text{ es }\frac{0-(-a)}{1-0}=a, \text{ entonces las ecuaciones de }\overleftrightarrow{CL}\text{ y }\overleftrightarrow{DK}\text{ son } y=-\frac{1}{a}x\text{ e } y=-\frac{1}{a}(x-a)=-\frac{1}{a}x+1.\text{ Por lo tanto si }L=(x_1,y_1)\text{ y }K=(x_2,y_2)\text{ entonces }-\frac{1}{a}x_1=x_1-1\Rightarrow x_1=\frac{a}{a+1}\Rightarrow y_1=-\frac{1}{a+1}\text{ y } -\frac{1}{a}(x_2-a)=x_2-1\Rightarrow x_2=\frac{2a}{a+1}\Rightarrow y_2=\frac{a-1}{a+1}. \text{ Entonces }L=(\frac{a}{a+1},-\frac{1}{a+1})\text{ y }K=(\frac{2a}{a+1},\frac{a-1}{a+1}),\text{ como las coordenadas del punto medio de }\overline{BK}\text{ son }(\frac{0+\frac{2a}{a+1}}{2},\frac{-1+\frac{a-1}{a+1}}{2})=(\frac{a}{a+1},\frac{-1}{a+1}),\text{ por lo tanto }L\text{ es el punto medio de }\overline{BK}\Rightarrow\overline{BL}=\overline{LK}.\,\,\, \Box
