Semana 14 - 2010 - El Número de Oro

Semana 14 - 2010

dinoplanet

La Olimpíada de Matemáticas Argentina (OMA), publica todos los días lunes los problemas de la semana y sugiere que en los colegios se ubiquen en algún lugar de acceso para los estudiantes.

Semana 14 - 2010

Las respuestas de los problemas, favor postearlas en esta sección.

impure

[b]Primer Nivel

XIX-114[/b]

[quote]En la sala de espera hay 2 filas de 8 asientos cada una. Cuando llegan Fede y su papá, la sala está vacía. Si se quieren sentar uno al lado del otro o uno atrás del otro, ¿de cuántas maneras distintas pueden hacerlo?[/quote]

Notemos que uno detras del otro se puede hacer de [tex]$8 \cdot 2=16$[/tex] maneras pues puede ir Fede delante de padre o alreves y tenemos [tex]$8$[/tex] columnas de largo [tex]$2$[/tex].

Notemos que uno al lado del otro se puede hacer de [tex]$7 \cdot 2 \cdot 2 = 28$[/tex] maneras pues puede ir Fede a la derecha o a la izquierda de su padre, tenemos [tex]$2$[/tex] filas y en cada fila podemos sentarlos de [tex]$7$[/tex] maneras distintas.

Finalmente son [tex]$16+28=44$[/tex] maneras.

jumbito

notar que el p114 salio en el cmat de tercero 8)

assassin

[size=110]

Segundo Nivel

214. Sea [tex]ABCD[/tex] un cuadrilátero convexo tal que el triángulo [tex]ABD[/tex] es equilátero y el triángulo [tex]BCD[/tex] es isósceles, con [tex]C=90^o[/tex] . Si [tex]E[/tex] es el punto medio del lado [tex]AD[/tex], calcular la medida del ángulo [tex]CED[/tex] .

[/size]

Solución 1:

[size=115]Tracemos la simetral del segmento [tex]BD[/tex] que pasa por [tex]M[/tex]. Como [tex]\triangle{ABD}[/tex] es equliátero y [tex]\triangle{BCD}[/tex] es isósceles, esta recta pasa por [tex]A[/tex] y por [tex]C[/tex]. Ya que [tex]M[/tex] es punto medio de [tex]BD[/tex] y [tex]\triangle{BCD}[/tex] es rectángulo isósceles se tiene que [tex]MD=MC[/tex] y que [tex]\angle{CMD}=90^o[/tex]. Ahora bien, notemos que ME es paralela media por lo que [tex]ME=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BD=MD[/tex]. Pero [tex]MD=MC[/tex] así que [tex]ME=MC[/tex] por lo que el [tex]\triangle{EMC}[/tex] es isósceles. Luego como [tex]\angle{EMC}=150[/tex] y [tex]\angle{MED}=60[/tex] se tiene que [tex]\angle{CED}=60-15=45^o[/tex][/size]

Solución 2:

[size=115]Tracemos la transversal de gravedad [tex]BE[/tex]. Como el [tex]\triangle{ABD}[/tex] es equilátero se tiene que [tex]BE[/tex] es altura, entonces [tex]\angle{BED}=90[/tex]. Notemos ahora que el cuadrilátero [tex]BCDE[/tex] es cíclico ya que sus ángulos opuestos suman [tex]180^o[/tex]. Por lo tanto [tex]\angle{CED}=\angle{CBD}=45^o[/tex][/size]