Una solución "constructiva" para el problema 4 de esta Olimpiada Matemática del Cono Sur.
El problema puede ser trabajado "módulo 10", es decir, en vez de números enteros serán considerados elementos de [tex]$\mathbb Z/10\mathbb Z$[/tex] (números enteros módulo 10). Como en la solución de iMPuRe, es posible dividir el tablero 2010x2010 en [tex]$1005^2$[/tex] tableros 2x2 disjuntos, basta con aplicar lo siguiente en cada uno de ellos:
Dado un par de tableros 2x2, es posible obtener uno de ellos a partir del otro con un número finito de operaciones
Demostración: Supongamos que el primer tablero tiene un 0 en cada casilla. Vamos a poner nombre a cada casilla:
[tex]\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
A&B\\ \hline
C&D\\ \hline
\end{tabular}[/tex]
Sea [tex]$L_A$[/tex] la operación que suma 1 en cada casilla del tablero, excepto en la casilla A. Defina [tex]$L_B,L_C,L_D$[/tex] análogamente. Aplicando una vez cada operación, el tablero tendrá un 3 en cada casilla. Esto se repite otras tres veces para que cada casilla tenga un 9 en cada casilla. Aplicando una vez la operación [tex]$L_A$[/tex], habrá un 9 en la casilla A y un 0 en las otras tres casillas. Por lo tanto es posible obtener el tablero:
[tex]\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
9&0\\ \hline
0&0\\ \hline
\end{tabular}[/tex]
Aplicando el párrafo anterior nueve veces, se obtiene el tablero arriba, cambiando 9 por 1. Un razonamiento similar sobre las otras casillas permite obtener los siguientes tableros:
[tex]\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
1&0\\ \hline
0&0\\ \hline
\end{tabular}[/tex] [tex]\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
0&1\\ \hline
0&0\\ \hline
\end{tabular}[/tex] [tex]\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
0&0\\ \hline
1&0\\ \hline
\end{tabular}[/tex] [tex]\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
0&0\\ \hline
0&1\\ \hline
\end{tabular}[/tex]
Ahora, estos "tableros básicos" pueden ser utilizados varias veces para pasar de cualquier tablero inicial a cualquier tablero final. Por ejemplo, para pasar de
[tex]\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
1&2\\ \hline
3&4\\ \hline
\end{tabular}[/tex] a [tex]\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
3&9\\ \hline
7&1\\ \hline
\end{tabular}[/tex]
basta usar dos veces el primero, siete veces el segundo, cuatro veces el tercero y siete veces el cuarto
