Olimpiada Polaca de Matemáticas 1997

luffy

OLIMPIADA POLACA DE MATEMATICAS
1997

Problema 1: Encuentre todos los pares (n,r)\in \mathbb{Z}^+\times\mathbb{R}, para los cuales el polinomio (x+1)^n-r es divisible por 2x^2+2x+1.

Solución: (Pendiente)

Problema 2: Sea ABC un triángulo y P un punto dentro de él tal que \angle PBC=\angle PCA2, definamos q(k) como el producto de todos los primos menores que p(k), en cualquier otro caso sea q(k)=1. Considere la secuencia

x_0=1, x_{n+1}=\dfrac{x_np(x_n)}{q(x_n)} n=0,1,2,\dots

Determine todos los números naturales n tales que x_n=111111.

Solución: (Pendiente)

Problema 6: Del conjunto de todas las permutaciones f de \{1,2,...,n\} que satisfacen la condición

f(i) =i-1 i=1,2,...,n,

una es elegida uniformemente al azar. Sea p_n la probabilidad de que la permutación elegida f satisfaga

f(i)\le i+1 i=1,2,...,n.

Encuentre todos los números naturales n tales que p_n>1/3.

Solución: (Pendiente)

pedanticanarchy

Problema 1: Notemos que las raices de 2x^2+2x+1son \dfrac {i-1}{2}y \dfrac {-i-1}{2}y entonces para que 2x^2+2x+1|(x+1)^n+r debe ocurrir que tambien sean raices de(x+1)^n+r\rightarrow (\dfrac {i+1}{2})^n=-r=(\dfrac {1-i}{2})^n, pero es facil ver que para que (\dfrac {i+1}{2})^n=(\dfrac {1-i}{2})^n, debe ocurrir que n\equiv 0(mod 4), entonces n=4j con j natural. Ahora -r=(\dfrac {i+1}{2})^n=(\dfrac {i+1}{2})^{4j}=(\dfrac {-1}{4})^j\rightarrowr=-(\dfrac {-1}{4})^j\rightarrow (n,r)=(4j,-(\dfrac {-1}{4})^j), para toda j natural

jumbito

Problema 1: Notemos que las raices de 2x^2+2x+1son \dfrac {i-1}{2}y \dfrac {-i-1}{2}y entonces para que 2x^2+2x+1|(x+1)^n+r debe ocurrir que tambien sean raices de(x+1)^n+r\rightarrow (\dfrac {i+1}{2})^n=-r=(\dfrac {1-i}{2})^n, pero es facil ver que para que (\dfrac {i+1}{2})^n=(\dfrac {1-i}{2})^n, debe ocurrir que n\equiv 0(mod 4), entonces n=4j con j natural. Ahora -r=(\dfrac {i+1}{2})^n=(\dfrac {i+1}{2})^{4j}=(\dfrac {-1}{4})^j\rightarrowr=-(\dfrac {-1}{4})^j\rightarrow (n,r)=(4j,-(\dfrac {-1}{4})^j), para toda j natural

Pienso que la parte que destaqué está poco clara, seria bueno una demostración sencilla pues en una olimpiada "fuerte" es muy probable que pierdas puntos.

Felipe

pedanticanarchy

pedantic anarchy wrote:Problema 1: Notemos que las raices de 2x^2+2x+1son \dfrac {i-1}{2}y \dfrac {-i-1}{2}y entonces para que 2x^2+2x+1|(x+1)^n+r debe ocurrir que tambien sean raices de(x+1)^n+r\rightarrow (\dfrac {i+1}{2})^n=-r=(\dfrac {1-i}{2})^n, pero es facil ver que para que (\dfrac {i+1}{2})^n=(\dfrac {1-i}{2})^n, debe ocurrir que n\equiv 0(mod 4), entonces n=4j con j natural. Ahora -r=(\dfrac {i+1}{2})^n=(\dfrac {i+1}{2})^{4j}=(\dfrac {-1}{4})^j\rightarrowr=-(\dfrac {-1}{4})^j\rightarrow (n,r)=(4j,-(\dfrac {-1}{4})^j), para toda j natural
Pienso que la parte que destaqué está poco clara, seria bueno una demostración sencilla pues en una olimpiada "fuerte" es muy probable que pierdas puntos.

Felipe

La demostracion es sencilla, por el teorema fundamental del algebra tenemos que los polinomios se factorizan de la forma (x-a1)(x-a2).........,donde ai son las raices de los polinomios, luego para que uno divida a otro todos los factores del primero deben ser tambien factores del segundo(puesto que los factores son irreductibles), i.e las raices del primero tambien deben ser raices del segundo.

Saludos y gracias por el comentario 😉