OLIMPIADA POLACA DE MATEMATICAS
1997

Problema 1: Encuentre todos los pares , para los cuales el polinomio es divisible por .

Solución: (Pendiente)

Problema 2: Sea un triángulo y un punto dentro de él tal que , definamos como el producto de todos los primos menores que , en cualquier otro caso sea . Considere la secuencia
Determine todos los números naturales tales que .

Solución: (Pendiente)

Problema 6: Del conjunto de todas las permutaciones de que satisfacen la condición
una es elegida uniformemente al azar. Sea la probabilidad de que la permutación elegida satisfaga
Encuentre todos los números naturales tales que .

Solución: (Pendiente)
2 años más tarde
Problema 1: Notemos que las raices de son y y entonces para que debe ocurrir que tambien sean raices de, pero es facil ver que para que , debe ocurrir que , entonces con j natural. Ahora para toda natural
un mes más tarde
Problema 1: Notemos que las raices de son y y entonces para que debe ocurrir que tambien sean raices de, pero es facil ver que para que , debe ocurrir que , entonces con j natural. Ahora para toda natural
Pienso que la parte que destaqué está poco clara, seria bueno una demostración sencilla pues en una olimpiada "fuerte" es muy probable que pierdas puntos.

Felipe
pedantic anarchy wrote:Problema 1: Notemos que las raices de son y y entonces para que debe ocurrir que tambien sean raices de, pero es facil ver que para que , debe ocurrir que , entonces con j natural. Ahora para toda natural
Pienso que la parte que destaqué está poco clara, seria bueno una demostración sencilla pues en una olimpiada "fuerte" es muy probable que pierdas puntos.

Felipe
La demostracion es sencilla, por el teorema fundamental del algebra tenemos que los polinomios se factorizan de la forma (x-a1)(x-a2).........,donde ai son las raices de los polinomios, luego para que uno divida a otro todos los factores del primero deben ser tambien factores del segundo(puesto que los factores son irreductibles), i.e las raices del primero tambien deben ser raices del segundo.


Saludos y gracias por el comentario 😉
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