Desafío N° 4 20191230

elnumerodeoro

¿Para qué valores de n se cumple la igualdad:
\frac{1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)}{2 + 4 + 6 +\dots + 2n} = \frac{2019}{2020} ?

tomas_rodriguez_12

\text{Primero que nada, asumiremos que }n\in\mathbb{Z^+}.\\ \text{Notemos que }1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2,\text{ esto se demuentra por inducción de la siguiente manera}\\ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\\ \Rightarrow n^2 + (2(n+1)-1) = (n+1)^2\\ \Rightarrow n^2+2n+1=n^2+2n+1.\\ \text{También notemos que }2+4+6+\cdots+2n=n(n+1)\text{, esto se sabe por la sumatoria de Gauss.}\\ \text{Entonces la ecuación inicial nos queda de la siguiente manera:}\\ \frac{n^2}{n(n+1)}=\frac{2019}{2020}\\ \Rightarrow\frac{n}{n+1}=\frac{2019}{2020}\\ \Rightarrow 2020n=2019(n+1)\\ \Rightarrow2020n=2019n+2019\\ \Rightarrow n=2019\\ \therefore\text{El único $n \in \mathbb{Z^+}$ que cumple esto es el 2019.}