tomas_rodriguez_12
\text{Notemos que }n \text{ es divisible por 5 porque su último dígito es 5 (regla de divisibilidad del 5), entonces }n \text{ va a ser de la forma }\\
n = 5m, \,m\in\mathbb{Z}\\
\text{ pero }n \text{ es impar porque su último dígito es un número impar (regla de divisibilidad del 2), entonces }m \text{ va a ser de la forma}\\
m = 2q +1, q\in \mathbb{Z}\\
\Rightarrow n = 5(2q+1) = 10q +5\\
\text{entonces }n\in \{\pm5, \pm15, \pm25,... \}.\\
\text{Ahora veremos qué forma tendrá que tener el cuadrado de un número que termina en 5. Notemos que todo número que termina en 5 se puede escribir de la forma}\\
\overline{a_1a_2...a_k5}, \text{ con }a_1, ...a_k\in\{0,1,2,...,9\} \text{ y } k\in\mathbb{Z^+}\\
\Rightarrow (\overline{a_1a_2...a_k5})^2 = (10\cdot\overline{a_1a_2...a_k} + 5)^2 = 100\cdot (\overline{a_1a_2...a_k})^2 +100 \cdot\overline{a_1a_2...a_k} +25 \\= 100\cdot\overline{a_1a_2...a_k}\cdot(\overline{a_1a_2...a_k}+1) +25\\
\text{por lo tanto todo cuadrado de un número que termine en 5 terminará en 25, y el resto de sus dígitos será el producto de dos números consecutivos.}\\
\text{Ahora solo nos falta ver en que dígito termina el producto de dos números consecutivos, viendo esto en módulo 10 tendremos que}\\
\forall \,b \in\mathbb{Z}, b(b+1)\equiv 0, 2, 6\, (mod\,10).\\
\text{Por lo tanto, para que }n \text{ pueda ser un cuadrado perfecto, }x \text{ tendría que ser 0, 2 o 6}.
IgnacioCruz
Nótese que:
∀k ∈ Z, n=k² y n≡25 (mód 100) ⟺ k≡5 (mód 10)
Es decir, si un cuadrado n termina en 25, entonces su raíz k debe terminar en 5.
Esto implica que 𝑘 puede expresarse como:
k = a×10^m + b×10^(m-1) + ... + c×10^1 + 5
Probando valores de k en los que k≡5 (mód 10) se tiene que:
5^2 = 25
15^2 = 225
25^2 = 625
35^2 = 1225
45^2 = 2025
55^2 = 3025
65^2 = 4225
75^2 = 5625
Y, al observar sus residuos módulo 1000 (últimos 3 dígitos) se tiene que:
5^2 ≡ 025 (mód 1000)
15^2 ≡ 225 (mód 1000)
25^2 ≡ 625 (mód 1000)
35^2 ≡ 225 (mód 1000)
45^2 ≡ 025 (mód 1000)
55^2 ≡ 025 (mód 1000)
65^2 ≡ 225 (mód 1000)
75^2 ≡ 625 (mód 1000)
Se observa que existe un patrón de valores cíclico de la forma (025, 225, 625, 225, 025),
por lo que los únicos valores de x ∈ {0,1,…,9} tales n sea un cuadrado perfecto con sus últimos 3 dígitos de la forma x25 son: [0, 2, 6]
