tomas_rodriguez_12
\text{Sobre un círculo de diámetro } AB \text{, se escogen los puntos }C, D \text{ y }E \text{ en un semiplano determinado}\\
\text{por }AB \text{ y }F \text{ en el otro semiplano, tales que los arcos cumplen:}\\
\stackrel{\frown}{AC} \,= \,\stackrel{\frown}{CD} \,=\, \stackrel{\frown}{BE} \,=\,20° \text{ y } \stackrel{\frown}{BF} \,=\,60°.\\
\text{Sea M la intersección de } BD \text{ y }CE. \text{ Demuestra que }FM \,=\, FE.
SantiagoMundaca
Demostración: Sea O el centro de la circumferencia de diametro \overline{AB}.
Notemos que \angle COE = \overset{\large\frown}{CE} = \overset{\large\frown}{AB} - \overset{\large\frown}{AC} - \overset{\large\frown}{EB} = 140^{\circ}. Como \overline{CO} = \overline{OE} por radio, \angle OEC = 20^{\circ}.
Ahora como, \angle EOB = 20^{\circ} = \angle OEC, son alternos internos. \therefore \overline{OB} \parallel \overline{ME}.
Observemos que, 2\angle DBE = \overset{\large\frown}{DE} = \overset{\large\frown}{CE} - \overset{\large\frown}{CD} = 120^{\circ} \implies \angle DBE= 60^{\circ}.
De forma similar, 2\angle ABD = \overset{\large\frown}{AD} = \overset{\large\frown}{AC} + \overset{\large\frown}{CD} = 40^{\circ} \implies \angle ABD = 20^{\circ}.
Por esto, \angle OBE = \angle MBE + \angle OBM = 80^{\circ}.
Notablemente, el cuadrilátero OMEB es cíclico ya que \angle OEM = 20^{\circ} = \angle OBM. \implies\angle MBE=60^{\circ} = \angle MOE. Por consecuencia, como \angle MOB = 80^{\circ} =\angle OBE y \overline{OB} \parallel \overline{ME}, el cuadrilátero OMEB es trapecio isósceles. \implies \overline{OM} = \overline{BE}.
Por otro lado ya que \angle BOE = 60^{\circ} y \overline{OF} = \overline {OB} por radio, \triangle OBF es equilatero. \implies \overline{OF} = \overline{FB} y \angle BOF =60^{\circ} = \angle FBO. Por esto ultimo, \angle MOB + \angle BOF =\angle OBE + \angle FBO\iff \angle MOF = \angle FBE.
Finalmente, \triangle OMF \cong \triangle BEF por L.A.L. (\overline{OM} = \overline{BE}, \angle MOF = \angle FBE, \overline{OF} = \overline{FB}).
\therefore \overline{FM} = \overline{FE}.
