tomas_rodriguez_12
\text{Sea }ABC \text{ un triángulo con }AB<AC \text{ y sea }\omega \text{ su circunferencia circunscrita.}\\
\text{Sea }M \text{ el punto medio del lado }BC \text{ y } N \text{ el punto medio del arco }BC \text{ de }\omega \text{ que contiene a }A.\\
\text{La circunferencia circunscrita del triágulo }AMN \text{ interseca a los lados }AB \text{ y }AC \text{ en los puntos }\\
P \text{ y }Q, \text{respectivamente. Demuestre que }BP = CQ.
SantiagoMundaca
Demostración: El objetivo será demostrar que \triangle PBN \cong \triangle QCN.
Primero, notemos que \angle NCB = \angle CBN ya que N es el punto medio del arco \overset{\large\frown}{BC} \Rightarrow \triangle BCN es isoceles \Rightarrow \overline{BN} = \overline{CN}.
Ahora, \angle NBP = \angle NCQ por sostener el arco \overset{\large\frown}{AN}.
Similarmente, \angle NPA = \angle NQA por sostener el arco \overset{\large\frown}{AN}. Observemos que \angle BPN = 180^{\circ} - \angle NPA y \angle CQN = 180^{\circ} -\angle NQA. \Rightarrow \angle BPN = \angle CQN.
Entonces, \triangle PBN \cong \triangle QCN por L.A.A. (\overline{BN} = \overline{CN}, \angle NBP = \angle NCQ, \angle BPN = \angle CQN)
\therefore \overline{BP} = \overline{CQ}.
