JC_Vietas_version
Una operación consiste en tomar el primer dígito (llamemoslo d) de izquierda a derecha de un entero positivo n, eliminarlo y sumar d al número restante. Considere n = 7^{2015} . A este número se le aplica sucesivamente la operación hasta que quede un número de 10 dígitos. Pruebe que el número resultante no puede tener todos sus dígitos distintos.
SantiagoMundaca
Demostración: Sea N el numero resultante de 10 dígitos. Para propósitos de contradicción, asumamos que N tiene todos sus dígitos distintos. Como N tiene 10 dígitos, sus dígitos serán 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 en algún orden. En particular, es útil que N \equiv 0 +1+2+3+4+5+6+7+8+9\equiv0 (mod 9) por criterio de divisibilidad del 9.
Ahora, sea x un numero cualquiera. Tomemos la expansión decimal de x donde x = a_k10^k +a_{k -1}10^{k-1} + \dots + a_110+ a_0. Sea x^\prime el resultado de aplicar la \textit{operación} a x. De esta forma, x^\prime = a_{k-1}10^{k-1} + \dots + a_110 + a_0 + a_k. Con esto, observemos los restos de x y x^\prime en (mod 9) gracias al criterio de divisibilidad del 0.
x \equiv a_k + a_{k -1} + \dots+a_1 + a_0 (mod 9), x^\prime \equiv + a_{k -1} + \dots+a_1 + a_0 + a_k (mod 9).
\Rightarrow x \equiv x^\prime (mod 9).
Por lo tanto, no importa cuantas veces usemos la \textit{operación}, siempre se mantiene el mismo resto en (mod 9).
\Rightarrow n \equiv N (mod 9), pero n =7^{2015} \not\equiv 0 (mod 9), N \equiv 0 (mod 9). \rightarrow\leftarrow
\therefore Nuestra asunción inicial era falsa, así que N no puede tener todos sus dígitos distintos.
