IgnacioCruz
Si n es compuesto, un numero 2ᵖ - 1 no necesariamente lo es, porque n no se usa en 2ᵖ - 1 y para p=2 se tiene que 2² - 1 es primo (3)
En caso de ser un error de escritura y el enunciado correcto sea "Demostrar que si n es compuesto, entonces 2ⁿ − 1 es compuesto" se tiene lo siguiente:
Sea n un entero compuesto, es decir, existen enteros a,b > 1 tales que n = ab y n > 4
Entonces, 2ⁿ - 1 = 2ᵃᵇ - 1 = (2ᵃ)ᵇ - 1
y como (2ᵃ)ᵇ - 1 es de la forma xᵐ - 1 [usando x = 2ᵃ y m = b] se puede usar la identidad
xᵐ - 1 = (x - 1) (xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + … + x + 1), tal que
(2ᵃ)ᵇ - 1 = (2ᵃ - 1) ((2ᵃ)ᵇ⁻¹ + (2ᵃ)ᵇ⁻² + … + 2ᵃ + 1)
Dado que a > 1 se cumple que 2ᵃ − 1 ≥ 3 > 1 , y la suma (2ᵃ)ᵇ⁻¹ + (2ᵃ)ᵇ⁻² + … + 2ᵃ + 1 contiene b ≥ 2 términos, todos positivos, por lo que esta es mayor que 1.
Por lo tanto, 2ᵃᵇ - 1 es divisible por 2ᵃ - 1, lo que implica que [2ᵃᵇ - 1] es compuesto.
