SantiagoMundaca
Solución: No existen tales funciones.
Demostración: Primero, con el propósito de demostrar que f es inyectiva, supongamos f(a) = f(b), a,b\in \mathbb{R}. Por la ecuación inicial, se tiene que f(f(a)) + af(a) = 1 = f(f(b)) + bf(b). Sea t = f(a) = f(b).
\Rightarrow f(t) + at = f(t) + bt \iff at = bt. Si t = 0, entonces f(x) = 0, pero esto no cumple la ecuación inicial.
\Rightarrow t \neq 0 \Rightarrow a=b.
\therefore f es una función inyectiva. Ahora, en la ecuación inicial, reemplacemos con algunos valores de x convenientes.
x = 0 \Rightarrow f(f(0)) + 0f(0) = 1 \iff f(f(0)) = 1.
x = f(0) \Rightarrow f(f(f(0))) + f(0)f(f(0)) = 1 \iff f(1) +f(0) = 1.
x = 1 \Rightarrow f(f(1)) + 1f(1) = 1 = f(f(1)) + f(1) =1.
Como f(1) + f(0) = 1 y f(f(1)) + f(1) = 1
\Rightarrow f(1) + f(0) = f(f(1)) + f(1) \iff f(0) = f(f(1)).
Como f es inyectiva, f(1) = 0. Reemplazando en f(f(1)) + f(1) = 1:
f(f(1)) + f(1) = f(0) + 0 = f(0) = 1.
Pero esto es absurdo al reemplazar en f(f(0)) = 1, ya que f(f(0)) = f(1) = 0.
\therefore No existen funciones f.
