elnumerodeoro
Demostrar que si p y q son números primos tales que \frac{p^2 + q^2}{p + q} es entero, entonces p = q
SantiagoMundaca
Demostración: Notemos que p^2 + q^2 =p^2 + 2pq +q^2 - 2pq -2p^2 + 2p^2 = (p + q)^2 -2p(p + q) + 2p^2 . Ahora asumamos que p \neq q y p+q | p^2 +q^2 = (p + q)^2 -2p(p + q) + 2p^2 \iff p + q | 2p^2 \implies p + q \leq 2p^2. Sin perdida de generalidad, consideremos p < q \Rightarrow p + q > 2p. Como los unicos divisores de 2p^2 que pueden ser mayores a 2p son p^2 y 2p^2, entonces p + q tiene que ser igual a uno de ellos. Pero como p |p, p|p^2,p|2p^2, en cualquiera de los casos, p|q \iff p=q.
Juan_Pablo_Lazo
Por la factorización de diferencia de cuadrados sabemos que p + q | p^2 - q^2
Por lo tanto p + q | p^2 + q^2 + (p^2 - q^2) = 2p^2 y
p + q | p^2 + q^2 - (p^2 - q^2) = 2q^2
Suponga que alguno de los dos primos p y q es par y el otro impar, el único
primo par es 2 y por la simetría de la expresión original y las dos nuevas que derivamos, podemos suponer sin perdida de generalidad que
p = 2 y q es impar, entonces tenemos p + q | 2p^2 es lo mismo que
2 + q | 8 pero como q es impar 2 + q es impar una contradicción.
Ahora sabemos que p y q tienen la misma paridad, por tanto p + q
es par y entonces p + q | 2p^2 implica que \frac{p+q}{2} | p^2
Los divisores de p^2 son \{1, p, p^2 \}
Como p,q \geq 2 tenemos que \frac{p+q}{2} \not= 1
Si \frac{p+q}{2} = p tenemos que p = q
Finalmente \frac{p+q}{2} = p^2 tenemos que p(2p-1) = q lo que implica que
p | q lo que solo es posible si p = q .
Asi que en todos los casos p = q
