tomas_rodriguez_12
\text{Solución: Solo las funciones }f(x)=x \text{ y } f(x)=-x \text{ cumplen lo pedido.}\\
\text{Evaluando con }x=0 \text{, tenemos que}\\
f(f(y)) = f(0)^2 +y\\
\text{como }f(0)^2\text{ es una constante, entonces }\\f(0)^2+ y \text{ puede ser cualquier real, por lo tanto }f\text{ es sobreyectiva.}\\
\text{Con esto último podemos evaluar con un }x \text{ talque }f(x)=0\text{, con esto tenemos que}\\
f(f(y))=y\\
\text{por lo tanto }f\text{ es una involución y }f(0)=0.\\
\text{Evaluando con }y=0\text{ en la ecuación inicial tenemos que}\\
f(xf(x))=f(x)^2\\
\text{si evaluamos con }f(x)\text{ tenemos que}\\
f(f(x)f(f(x)))=f(f(x))^2\\
\Rightarrow f(x)^2=f(f(x)x)=f(f(x))^2\\
\Rightarrow f(x)^2=x^2\\
\text{Por la Pointwise Tramp, supongamos que existen valores }a\text{ y }b\text{ tales que }f(a)=a\\
\text{y }f(b)=-b.\text{ Evaluando en la ecuación original nos queda que}\\
f(a^2-b)=a^2+b\\
\text{pero el lado izquierdo puede ser }a^2-b \text{ o }b-a^2 \text{, por lo que no puede ser igual al}\\
\text{lado derecho}.\\
\text{Por lo tanto las soluciones a la ecuación son }f(x)=x\text{ y }f(x)=-x.
