elnumerodeoro
Mostrar que \forall n \in \mathbb {N}, n^3 - n es divisible por 6.
CovetFan037
Si n>1 entonces la condición se cumple. Ya que si n=1 sería (1³-1)÷6 y 1³-1 es 0, y 0 no es divisible por 6
IgnacioCruz
@ / CovetFan037
0 SI es divisible por 6 ya que se puede hacer la operación inversa sin problema, a modo que 6 x 0 = 0 por lo que 0 ÷ 6 = 0
elnumerodeoro
Una solución, por inducción:
1) p(1) : 6 | 1^3 - 1=0 se cumple...
2) p(k): 6 | k^3 - k , k\in \mathbb{N} Hipótesis Inductiva
¿\Longrightarrow?
p(k+1): 6 | (k + 1)^3 - (k + 1) Tesis inductiva
Veamos:
(k + 1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k -1
\qquad = k^3 - k +3k( k + 1) Maravillososo!!!
6|k^3 - k por la hipótesis y tenemos que como k > 1, entonces ó k o
ó k +1 es par
por lo tanto 6 | 3k(k + 1)], entonces p(k + 1) es Verdadera.
Concluímos que p(n) es Verdadera \forall n \in \mathbb{N}
