IgnacioCruz
Notemos que, por un lado, 2ⁿ es la cantidad de subconjuntos de un conjunto de n elementos, y por el otro, uno podría contar la cantidad de subconjuntos de un conjunto de n elementos viendo cuantos conjuntos con cierta cantidad fija de elementos hay, y después sumar.
Para esto, notemos que para cada i se tiene que (ⁿᵢ) representa la cantidad de subconjuntos de i elementos, por lo tanto hay (ⁿ₀) + (ⁿ₁) + (ⁿ₂) + ... + (ⁿₙ) subconjuntos posibles, Como estas dos cantidades deben ser la misma se tiene ⁿₖ₌₀Σ (ⁿᵢ)
(El Número de Oro 2024, Doble conteo [5.3], Problema 1)
Nelson
Si analizamos el binomio de Newton, ⁿₖ₌₀Σ (ⁿₖ) a^(n-k) b^k = (a + b)^n,
nos podemos dar cuanta que en el caso, a = 1 y b = 1, el binomio quedaria de la siguiete forma:
ⁿₖ₌₀Σ (ⁿₖ) 1^(n-k) 1^k = (1 + 1)^n
= ⁿₖ₌₀Σ (ⁿₖ) 1^n = 2^n
= ⁿₖ₌₀Σ (ⁿₖ) = 2^n
lo cual es la igualdad que estabamos buscando demostrar.
